1.未知数比方程个数多方程组解法.docVIP

PAGE  PAGE 200 初中数学竞赛专题选讲(1) 未知数比方程个数多的方程组解法 一、内容提要 在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数. 解这类方程或方程组，一般有两种情况： 一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等. 二、例题 例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①；　　　②x2+xy+y2－3x－3y+3=0； ③ 解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零. 得不等式组 解得x2=1而x≠1, ∴ ② 整理为关于x的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0. x2+(y－3)x+(y2－3y+3)=0. ∵x是实数，　　∴△≥0. 即( y－3)2－4(y2－3y+3)≥0 . 解得 (y－1)2≤0 . 而(y－1)2≥0. 　∴y=1. ∴是原方程的解. ③消去一元后，利用实数平方是非负数性质. 由①得z=2－x－y . 代入②得2xy－(2－x－y)2－4=0. 整理配方，得(x－2)2+(y－2)2=0. ∵相加得0的两个数，只有是互为相反数. 而 x, y 是实数， ∴(x－2)2≥0，(y－2)2≥0. ∴满足等式的条件只能是：. ∴方程组的解是 本题在消去z后，也可以仿②，写成关于 x的二次方程，用判别式求解. 例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数. 分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程的整数解. 解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}； 除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}； 除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}. 三个集合的公共元素中最小的自然数是37. 解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然数). 得方程组 由(1)得 a=. 设 (k为正整数)， 那么 b=4k－1， a=5k－1. 由(2)得 c=. 要使为整数，k取最小正整数2. 这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37. 解法三：设所求的自然数为x, 则，， 都是自然数. ∵ . ∴+－ 也是自然数. 设y=+－ . 去分母，得 200y=31x－47. x=. y取最小正整数5，能使为整数. ∴x=37,　 即最小的自然数是37. 例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？ (1985年全国初中数学联赛题) 解：设甲，乙，丙每件分别为x,　y,　z元. 根据题意，得 ( 依题意只要求出x+y+z的值) (1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）. 答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元. 例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离. 解：设A、B两站的距离为x公里，并引入辅助未知数V甲，V乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得 ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得. 解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去). 答：A、B两站的距离为40公里. 三、练习 1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？ 2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？ 3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽. 4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度. 5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相