10第十讲二元一次方程组.docVIP

第10讲 二元一次方程组 本讲重点：二元一次方程组的概念、解法及其应用. 【考点链接】 1．二元一次方程组的有关概念： （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做 方程组． （3）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个二元一次方程组的解． 2.二元一次方程组的解法： （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个 ，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个 ，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 3．列二元一次方程组解应用题的常用等量关系 （1）行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt.水中航行：v逆水=船速－水速，v顺水=船速+ . （2）工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作 （常把工作量看着单位“1”）. （3）配料问题：溶质=溶液×溶质的 ， 溶液=溶质+溶剂. （4）经济问题：单价×件数=价值，利息=本金× ， 标价的n折=标价×（0＜n＜10）. 利润=成本×利润率，利润=总收入－总 . 【典例探究】 考点1 二元一次方程组解法 『例1』（1）（2012广州）解方程组； （2）（2012湖南常德）解方程组：； （3） （2012桂林模拟）解二元一次方程组：. 『解析』（1） ，①+②得，4x=20，解得x=5，把x=5代入①得，5﹣y=8， 解得y=﹣3，所以方程组的解是． （2） ①+②得：3x=6,∴ x=2.将x=2代人① y=3,∴方程组的解为. （3） 把①代入②得： ， ， 把代入①可得： ， . 所以此二元一次方程组的解为. 『备考兵法』解二元一次方程组的方法有两种：代入消元法和加减消元法，其目的都是消元，将二元一次方程转化为一元一次方程来解． 考点2 二元一次方程组的简单应用 『例2』（1）（教材练习题变式题）已知方程组的解适合x+y=8,求a的值. （2）（2012乐山模拟）已知关于x、y的方程组的解满足不等式x+y＜3，求实数a的取值范围． 『解析』（1）分析一：把方程组成的解用含a的代数式表示出来，再代入x+y=8，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a. 分析二；将方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，将新得到的方程与x+y=8组成方程组解方程组即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a,便可求出a的值. ① ② 解法一： ①×2,得6x+10y=2a+4 ③ ②×3,得6x+9y=3a ④ ③－④，得y=4－a, 把y=4－a代入②，得2x+3(4－a)=a,解得x=2a－6. 所以代入x+y=8,得(2a+6)+(4－a)=8,解得a=10. ① ② 解法二： 把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2,整理，得x+2y=2 ③ 把方程③与x+y=8组成方程组， ③ ④ ③－④，得y=－6,把y=－6代入④，得x=14.所以 把代入②中a=2×14+3×(－6)=10.所以a=10. （2） QUOTE \* MERGEFORMAT ， ①+②得，3x=6a+3，解得x=2a+1，将x=2a+1代入①得，y=2a﹣2， ∵x+y＜3，∴2a+1+2a﹣2＜3，即4a＜4，a＜1． 『备考兵法』顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组. 考点3 列二元一次方程组解应用题 『例2』（2012南昌）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”； 小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）． 『解析』解法一：设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价y元/斤，根据题意得： ．解得：． 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18， 答：这天