11第十一讲一元二次方程.docVIP

第11讲 一元二次方程 本讲重点：一元二次方程的解法及其应用. 【考点链接】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项，叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接 的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用 求出方程的解. （3）公式法：一元二次方程的求根公式是 （）. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 【典例探究】 考点1 一元二次方程及其解的概念 『例1』（1）（2012兰州模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． （2）（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） 　 A． 1 B．﹣1 C． 0 D．无法确定 （3）（2012滨州模拟）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为_____ . 『解析』（1）A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误； B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C． （2）根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B． （3）把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得4-2-a2+5=0，解得：a=±． 『备考兵法』对于方程ax2＋bx＋c＝0，只有当a≠0时，才叫做一元二次方程.因此，如果明确指出ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那就一定包括a≠0这个条件.例如：对于方程(a-1)x2-bx+c＝0，当a≠1时，方程是一元二次方程，当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程． 考点2 一元二次方程的解法 『例2』（教材例题变式题）解下列方程： (1)； (2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1； (4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 『解析』方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了. (1)(1－x)2＝，(x－1)2＝3，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－. (2)移项，得x2－6x＝19，配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x－3)2＝28， x－3＝±2，∴x1＝3＋2，x2＝3－2. (3)移项，得3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1， ∴x＝,∴x1＝. (4)移项，得y2－2y－15＝0，把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0； ∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3. (5)将方程左边因式分解，得(x－3)［5x－(x＋1)］＝0，(x－3)(4x－1)＝0， ∴x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3，x2＝. (6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0，［2(3x＋1)］2－［5(x－2)］2＝0， ［2(3x＋1)＋5(x－2)］·［2(3x＋1)－5(x－2)］＝0， (11x－8)(x＋12)＝0，∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝，x2＝－12. 『备考兵法』在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便.因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法.而在以后的学习中，会常常用到配方法，所以要掌握这个重要的数学方法. 考点3 一元二次方程的应用 『例3』（2012山西）山西特产