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第12讲 分式方程 本讲重点：分式方程的概念、解法及其应用. 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有 　　　 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 　 . 【典例探究】 考点1 分式方程的解法 『例1』（1）（2012梅州）解方程：; （2）（2012苏州）解分式方程：; （3）（2012山西）解方程：． 『解析』（1）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得 4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1），整理，，3x=1，解得x=． 经检验，x=是原方程的解．故原方程的解是x=． （2）去分母得：3x+x+2=4，解得：x=， 经检验，x=是原方程的解． （3）方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3， 化简，﹣6x=﹣3，解得x=．检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0 所以，x=是原方程的解． 『备考兵法』解分式方程分三大步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根. 考点2 列分式方程解应用题 『例2』（2012珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 『解析』（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30， 解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解． 答：第一次每只铅笔的进价为4元． （2）设售价为y元，根据题意列不等式为： ×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得，y≥6． 答：每支售价至少是6元． 『备考兵法』分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意． 考点3 探究型问题 『例3』（2011杭州市模拟）阅读下列材料解答下列问题： 观察下列方程： eq \o\ac(○,1)； eq \o\ac(○,2)； eq \o\ac(○,3)…… （1）按此规律写出关于x的第n个方程为 ，此方程的解为 （2）根据上述结论，求出的解. 『解析』（1）； . （2）. 由（1）得， ∴ . 经检验，，是原方程的解. 『备考兵法』考查简单情形提出猜想是解这类问题的关键. 【当堂过关】 1. （2012宿迁模拟）方程 QUOTE \* MERGEFORMAT 的解是（　　） A、﹣1 B、2 C、1 D、0 『解析』方程的两边同乘（x+1），得2x﹣x﹣1=1，解得x=2，检验得原方程的解为x=2． 『答案』B 2. （2012东营市模拟）分式方程的解为（　　） A、 B、 C、x=5 D、无解 『解析』方程的两边同乘2（x-2），得3-2x=x-2，解并检验得． 『答案』B 3. （2012长春模拟）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． QUOTE \* MERGEFORMAT  B． QUOTE \* MERGEFORMAT  C． QUOTE \* MERGEFORMAT  D． QUOTE \* MERGEFORMAT  『解析』根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30． 『答案』A 4. （2012重庆模拟）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率