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一元二次方程 一元二次方程的概念 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 例2．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 一元二次方程的根 1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2 一元二次方程的解法 1直接开方法 运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 练习1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 2配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． （可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法） 例1．用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 3求根公式法 已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵4a20，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时≥0 ∴（x+）2=()2 直接开平方，得：x+=± 即x= ∴x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 例1．用公式法解下列方程． （1）2x2-x-1=0 （2）4x2-3x+2=0 练习1若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，试推导x1+x2=-，x1·x2=； 4因式分解法 因式分解的方法：提公因式法、运用公式法、（十字相乘法） 一元二次方程根的情况判别 用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况 求根公式：x=，当b2-4ac0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 因此，（结论）（1）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=． （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．