15.6_实系数一元二次方程.docVIP

PAGE 1 课题：§15.6-实系数一元二次方程(1)(2) 教学目的：1、掌握实系数一元二次方程根与系数关系，并会解实系数一元二次方程和因式分解。 2、培养类比推理的思想方法。 3、培养学生探索精神。 教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。 教学难点：共轭虚根的应用。 教学过程： 第一课时： 引入：对实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R，且a≠0)有哪些认识？ ⊿判别式：当⊿＝b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根； 当⊿＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当⊿＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根。 韦达定理：设方程的两个根为x1、x2，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝ 求根公式：当⊿＞0时，方程两根为x＝ 思考：在复数集范围内是否仍然成立？ 当⊿＜0即b2－4ac＜0时， 由ax2＋bx＋c＝0知道： (x＋)2＝＜0 ∵的平方根为± ∴方程有一对共轭虚根：x＝－±（求根公式） 显然，仍然满足韦达定理：x1＋x2＝－，x1·x2＝ 结论：(1)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现；(2)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总有两个解x1、x2，总可以进行因式分解：ax2＋bx＋c＝a(x－x1) (x－x2) [例1]在复数集中解方程： x2－4x＋8＝0 分析：设z＝a＋bi (a，b∈R)，利用复数相等的充要条件也可以求解。 解：∵⊿＝16－32＝－16＜0，∴方程的解为 x1＝＝2＋2i ；x2＝＝2－2i 练习：教材P．79—练习15.6—1、2、3、4 [例2] 已知方程x2－px＋1＝0 (p∈R)的两根为x1、x2，若| x1－x2|＝1，求实数p的值。 (教材上利用求根公式求解) 解：由韦达定理可知：x1＋x2＝p，x1·x2＝1 (1) 当⊿＝p2－4＞0时，即p＜－2或p＞2时，存在两个实数根x1、x2 ∵| x1－x2|＝1 ∴| x1－x2|2＝1 即有(x1－x2) 2＝ (x1＋x2) 2－4x1x2＝p2－4＝1 解得p＝± (2) 当⊿＝p2－4＜0时，即－2＜p＜2时， 存在x1、x2互为共轭虚根，即＝x2，＝x1 ∵| x1－x2|＝1 ∴| x1－x2|2＝1 即有(x1－x2) ＝(x1－x2)()＝(x1－x2) (x2－x1) ＝－(x1－x2) 2＝－[(x1＋x2) 2－4x1x2]＝－(p2－4)＝1 解得p＝± 由(1)(2)可知：p＝±或p＝± (2)另解：当⊿＝p2－4＜0时，即－2＜p＜2时，方程有一对共轭虚根， 可设x1＝a＋bi，x2＝a－bi(a，b∈R) ∴ | x1－x2|＝|2 bi |＝|2 b|＝1 即b＝± ∵ x1·x2＝a2＋b2＝a2＋＝1 ∴ a＝± 当两根为±i 时，p＝；当两根为－±i 时，p＝－ 则p＝± [例3] 若关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0 至少有一个根的模为1，求实数a。 解：∵⊿＝9a2－8(a2－a)＝a2＋8a (1)当⊿≥0，即a≤－8或a≥0时，方程有实根 ∵|x|＝1 ，∴当x＝1时，有a2＋2a＋2＝0，a无解 当x＝－1时，有a2－4a＋2＝0，得a＝2± (2) 当⊿＜0时，即－8＜a＜0时，方程有一对共轭虚根x、，x＝|x|2＝1 ∴ x＝(a2－a)＝1 解得a＝2(舍去)，a＝－1 由(1)(2)可知：a＝2±或a＝－1 第一课时作业布置：教材P．80—习题15.6—1～6 第二课时： [例1] 设α、β是实系数方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根，α是虚数且是实数，求的值。 解：∵α是虚数，∴方程存在一对共轭虚根，即＝α，＝β ∵是实数，∴＝，即＝，即＝，∴＝1 ∴(－1)(＋＋1)＝0 ∵α≠β，即≠1，∴＋＋1＝0 则＝－±i [例2] 已知复数z1、z2满足| z1|＝| z2|＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1、z2的值。 (S1995—21/25) 解一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R) ∵| z1|＝| z2|＝1，且z1＋z2＝＋i ∴a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，a＋c＝，b＋d＝ (解方程组要老半天) 解得：a＝1，b＝0，c＝－，d＝或者a＝－，b＝，c＝1，d＝0 则z1＝1，z2＝－＋i或者z1＝－＋i，z2＝1 解二：∵|z1＋z2|＝|＋i|＝1，∴(z1＋z2)()＝1 ∵| z1|＝| z2|＝1，∴ z1＋z2＝－1 ∵z1、z2为共轭复数，∴ Re(z1)＝Re(z2)＝－ ∵|z2|＝|||z2|＝| z1|| z2|＝1，∴Im(z2)＝± ∴z2＝－±i，∴z2＝z1z2＝z1 (－±i) —— 寻找z1、z2关系 得z1＋z2＝z1＋z1