1元2次不等式的解法(3课时).docVIP

第三章 不等式 PAGE  课 题：3.2- 一元二次不等式的解法(3课时) 教学目标： 理解一元二次不等式求解的推理过程，熟练掌握一元二次不等式的解法。 掌握一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的内在联系。 培养数形结合和分类讨论的思想方法。 教学重点：一元二次不等式的解法 教学难点：一元二次不等式与方程、函数之间的内在联系 教学过程： 第1课时：不等式的解法 引例：请你画出二次函数y＝x2－2x－3的图象。 作图要点：(1)开口方向；(2)对称轴；(3)与坐标轴的交点；(4)顶点位置。 写出满足下列条件的x取值： (1) y＝0：x＝－1或x＝3 (2) y＞0：x＜－1或x＞3 (3) y＜0：－1＜x＜3 (1)式即x2－2x－3＝0，称为一元二次方程。 (2)式即x2－2x－3＞0，称为一元二次不等式。 (3)式即x2－2x－3＜0，称为一元二次不等式。 引例作用：揭示一元二次函数和一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系 请你利用二次函数y＝x2＋2x的图象求不等式x2＋2x＞0和x2＋2x＜0的解。 x2＋2x＞0的解为：x＜－2或x＞0 x2＋2x＜0的解为：－2＜x＜0 反思：能否寻找一种求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的简便解法？（每次作二次函数图象太烦了！） 思考方向：(1)确定一元二次不等式的解的关键是什么？ ——要确定相应的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根（首先要考虑是否有根？） (2)有根的前提下，两根之内还是两根之外由什么决定？ ——a的正负值和不等号方向 解题策略：使a值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。 [例1] 解下列不等式： (1) x2＋8x＋15＞0 解：(x＋3)(x＋5)＞0 ∴不等式的解为x＜－5或x＞－3 (2)－x2－3x＋4＞0 解：x2＋3x－4＜0，得(x＋4)(x－1)＜0 ∴不等式的解为－4＜x＜1 (3) 2x2－3x－2＞0 解：(2x－1)(x＋2)＞0 ∴不等式的解为x＜－或x＞2 (4) 2x2－1＜x2＋4x－2。 解：x2－4x＋1＜0 ∵方程x2－4x＋1＝0的两根为2－和2＋ ∴不等式的解为2－＜x＜2＋ 反思：你觉得在解一元二次不等式过程中有哪些注意点？ ——方程的解不能解错；两个根大小不能搞错；因式分解能力强比较合算；求根公式不能忘记；x2前面的系数为正比较合算；“＞???和“＜”不能看错；…… 不等式的解和不等式的解集是否一样？ ——不一样！解集应该写成集合的形式。如第(2)题的解集为|－4＜x＜ 不等式的解集可以用区间来表示。详见教材P.33 开区间：[a，b] 闭区间：(a，b) 半开半闭区间：或 规定a＜b，称为区间的端点。 特殊区间：R表示为(－∞，∞)，{x|x≥a}表示为等等。 强调：严格按规定书写区间，注意端点值是否可取。 [例2] 解下列不等式，并用区间表示解集。 (1) 2x2－5x－7＜0 解：(2x－7) (x＋1)＜0 ∴不等式的解集为（－1，） (2) －x2＋x＋12＜0 解：x2－x－12＞0，即(x－4) (x＋3)＜0 ∴不等式的解集为(－∞，－3)∪(4，＋∞) (3) x2＋4x＞－4 解：(x＋2)2＞0 ∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞) (4) －x2＋2x＞1 解：(x－1)2＞0 ∴不等式的解集为 (5) x2＋2x＋3＞0 解：(x＋1)2＋2＞0恒成立 ∴不等式的解集为R (6) x2－2x＋5＜0 解：(x－1)2＋4＜0恒不成立 ∴不等式的解集为 ——(3)～(6)可以运用数形结合进行评讲。 思考1：能否写出一个解集为(－2，1)的一元二次不等式？这样的不等式有几个？ －2＜x＜1 (x＋2)(x－1)＜0 x2＋x－2＜0 ；有无数个。 思考2：若不等式2x2－ax＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。 (x＋1)(x－3)＞0 x2－2x－3＞0，即2x2－4x－6＞0 比较可知：a＝4，b＝－6 [例3] 解下列不等式组，并用区间表示解集。 (1) 解： 得 ∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞) (2) 解： 得 ∴不等式的解集为 课堂小结：(1) 数学知识：一元二次不等式(组)的解法 (2) 数学思想：数形结合 第1课时作业：《练习册》P.15-习题2.2-A组-1，2，5～8(做在练习册上) 第2课时： [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。 解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2 ①当m＝－2时，x∈ ②当m＝2时，x∈R (2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜ (3) m2－4＜0即