1元2次不等式组解法.docVIP

一元二次不等式的解法 ??? 一、学习目标??? 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。??? 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 ??? 二、例题 第一阶梯 ??? 例1什么是一元二次不等式的一般式？??? 【解】一元二次不等式的一般式是：??? ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)??? 【评注】??? 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。??? 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 ??? 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？??? 【点拨】用函数的观点来回答。??? 【解】??? 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c? (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。??? 【评注】??? 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 ??? 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。??? 【解】一元二次不等式的解集表： 记忆图???? 分类△＞0△=0△＜0ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集（－∞，x1）∪（x2,＋∞）（－∞，x0）∪（x0，＋∞）Rax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集(x1，x2)??? 【评注】??? 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。??? 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 ??? 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。??? 【解】一元二次不等式的解法步骤是：??? 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。??? 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。??? 3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。????????????????? 例：解不等式? x+2＞3x2??? 解：原不等式等价于??? 3x2－x－2＜0??? 解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。??? ∴原不等式的解集为（，1）。 第二阶梯 ??? 例1、解下列不等式：??? （1）2+3x－2x2＜0；??? （2）－x2+2x－3x＞0；??? （3）x2－4x+4＞0??? 【解】??? （1）原不等式等价于2x2-3x-20??? 由2x2－3x－2=0得，x2=2. ??? ∴原不等式的解集是 ??? （2）原不等式等价于:x2-2x+30 ??? 由△=＜0，知原不等式解集为。 ??? （3）△=，方程有等根， ??? ∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。 ??? 【评注】??? 1.要严格按“解法步骤”求解。??? 2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。 ??? 例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0??? 【探路】化为一元二次不等式来解。??? 【解】??? ∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0??? ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，??? ∴原不等式等价于??? (1+x)(2-x)＞0＜0－1＜x＜2??? ∴原不等式的解集为（－1，2）。 ??? 例3、设全集为R，已知A={}，求。??? 【探路】解不等式化简集合A。 ??? 【解】 ??? ，……（1） ??? 方程2x2-x-1=0的两根为 ??? ∴不等式①的解集为[，1]， ??? ∴A=[，1] ??? ∴ ??? 例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。??? 【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。??? 【解】已知方程有两个负根的等价条件是 ???? ??? ??? ∴m的取值范围是（]∪[1，＋∞） ??? 【评注】??? 1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥