1元2次方程专项讲解.docVIP

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法． 　　方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程． 　　一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法． 　　对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即 　　当△=0时，方程有两个相等的实数根，即 　　当△＜0时，方程无实数根． 　　 　　分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解． 　　 　 　　因为 　　 　　所以 　　 　　　 　　例2 解关于x的方程： 　　x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0． 　　解 用十字相乘法分解因式得 　　[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0， 　　所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)． 　　例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值． 　　解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得 (20002x+1)(x-1)=0， 　　 (x+1999)(x-1)=0， 　　故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以 α-β=1-(-1999)=2000． 　　例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)． 　　分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为 3x-1=4x+1， 　　所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下． 　　解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0， 　　(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0， 　　(x-1)(x+2)=0， 　　所以 x1=1，x2=-2． 　　例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0． 　　分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义． 　　解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)． 所以原方程的根为x1=4，x2=-4． 解法2 由于x2=｜x｜2，所以 　　｜x｜2-3｜x｜-4=0， 　　所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0， 　　所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)． 　　所以 x1=4，x2=-4． 　　例6 已知二次方程 　　3x2-(2a-5)x-3a-1=0 　　有一个根为2，求另一个根，并确定a的值． 　　解 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以 　　3×22-(2a-5)×2-3a-1=0， 　　故a=3．原方程为 　　3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0， 　　 　　例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)． 　　分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论． 　　 　　当c=0时，x1=x2=0； 　　 　　当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根． 　　例8 解关于x的方程： 　　(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0． 　　分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论． 　　解 分类讨论． 　　(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程 x-2=0， 　　所以x=2． 　　(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程． 　　△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11． 　　 　　 　　 　　　 　　例9 解关于x的方程： 　　a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x． 　　解 整理方程得 　　(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0． 　　(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为 　　[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0， 　　 (2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2． 例10 求k的值，使得两个一元二次方程 　　x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0 　　有相同的根，并求两个方程的根． 　　解 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 　　a2+ka-1=0， ① 　　a2+a+(k-2)=0． ② 　　①-②有 　　ka-1-a-(k-2)=0， 　　即 (k-1)(a-1)=0， 　　所以k=1，或a=1． 　　(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两