1元2次方程典例2.docVIP

《实际问题与一元二次方程》典例精析2 【例1】要做一个容积为750cm3，高6cm，底面的长比宽多5cm的无顶长方体铁盒，应选用多大尺寸的长方形铁片？(精确到1cm) 【分析】只要画出长方体的平面展开图，运用长方体体积公式v＝abh构建方程，问题容易解决． 【解】如图，设长方体的底面宽为xcm， 则长为(x＋5)cm． 依题意得：6x(x＋5)＝750， 整理得：x2＋5x－125＝0, 解得：x1≈9，x2≈－14（舍去）． 当x＝9时，x＋17＝26，x＋12＝21. 答：选用长为26cm，宽为21cm的长方形铁片． 【小结】利用图表示题目中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意． 【例2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？每天盈利最多为多少？ 【分析】设每件衬衫应降价x元，则每件盈利减少了x元，即每件盈利(40－x元，而每 件降价1元，则每天多售出2件，每件降低x元则多售出2x件，故每天售出(20＋2x)件． 根据平均每天要盈利1200元，可得关系：件数×每件盈利＝总盈利，从而解决问题(1)， 在此基础上，通过配方法可解决问题(2). 【解】(1)设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理得：. 解得x1＝20，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x应取20． 答：每件衬衫应降价20元． (2)商场每天盈利（40－x）(20＋2x)＝－2(x－15)2＋1250，当x＝15时．代数式－2(x－15)2的值最大，即－2(x－15)2＋1250有最大值为1250. 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元． 【小结】(1)解应用题时，要特别注意在方程的解求出之后，应判断求得 的解是否符合题意，此题中的条件是“尽快减少库存”，故每天售出的越多则越 快，因此x＝20． (2)求多项式的最值用到了配方法，根据知时有最小值；由知a＝0时，有最大值． 【例3】我们都读过四大名著之一——《三国演义》，人们对周瑜的评价众说不一，对于他去世时的年龄，请读下面诗词： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华数周瑜? 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字是x，则十位数字是，于是年龄的两位数可以表示为，根据“个位平方与寿符”即可列方程求解. 【解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，根据题意，得，解得，. 当x=5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x=6时，周瑜的年龄为36岁，完全符合题意. 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 【小结】列方程解数字问题的关键是正确地运用数字表示各位数之间的进位关系. 【例4】2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元． (1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元？ 【分析】(1)设年平均增长率为x，则2011年投入资金5(1＋x)亿元，2012年投入资金5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2亿元，由此可得方程求解． (2)这三年共投入资金[5＋5(1＋x)＋8.45]亿元，把(1)中所求得的x代入即可求出答案． 【解】（1）设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意得5(1＋x)2＝8.45. 解得x1＝30%，x2＝－2.3（不合题意，舍去）． 　答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%. (2)这三年共投资5＋5(1＋x)＋8.45＝5＋5(1＋0.3)＋8.45＝19.95（亿元） 答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元． 【小结】本题是常见的增长率问题，要理解a(1＋x)n＝b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1＋x)；在这个基础上，再增长一次即经过第