1元2次方程巧解之逼根.docVIP

一元二次方程巧解之“逼根” 现在的数学试题越来越少考死知识了，主要是以创新应用为主，对我们的思维能力和灵活性要求越来越高，巧解是非常便捷，也是同学们喜欢的方法，但是不易思考出来。最近越来越多的题目中，特别是竞赛试题会出现“整数”“有理数”“偶数”“奇数”“质数”等这样的字眼，而且本类题目往往用传统的方法很难解答出来，需要根据条件本身的特点找到突破点。本节课就是讲这种题目的解法。 关键词：整数、有理数、偶数、奇数等 例1（1994年武汉市初中数学竞赛试题）设正整数满足下列条件：，，，试求的值。 例2（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）已知为整数，方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根.求的最小值，并说明理由. 例3（1998年山东省初中数学竞赛试题）当为何有理数时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 知识要点（与一元二次方程相关）： 1）实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是： b2－4ac≥0. 2）方程有理数根的判别： 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根. 3）?方程整数根的判别条件：整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数 的平方数. ?方程整数根的其他条件： 整系数方程ax2+bx+c=0　(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.　 特殊的例子有：　 C=0x1=0 ， 　　 a+b+c=0x1=1 ， 　　　a－b+c=0x1=－1. 例4(2004年太原市初中数学竞赛试题）已知为整数，若关于的二次方程有有理根，则的值是___________. 例5（1994年福州市初二数学竞赛试题）当是什么整数时，关于的方程的两根都是整数？ 例6.　若a,　b,　c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 　　　证明：设方程有一个有理数根（m,　n 是互质的整数）. 那么a()2+b()+c=0,　即an2+bmn+cm2=0. 把m,　n按奇数、偶数分类讨论， ∵m,　n互质，∴不可能同为偶数. 　　　　①　当m,　n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0； 　　②　当m为奇数,　n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇??＝奇数≠0； 当m为偶数,　n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0. 综上所述　 不论m,　n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立. 　　　即　假设方程有一个有理数根是不成立的. ∴当a,　b,　c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.