1元2次方程根的判别式1.docVIP

PAGE  PAGE 15 一元二次方程根的判别式的意义及应用 教学目标 (一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么； (二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况. 教学重点和难点 重点：一元二次方程的根的判别式的运用. 难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解. 教学过程设计 (一)复习 1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前 ，必须写出哪两步?为什么要先写这两步? 例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上) 2x2+10x-7=0. 解：因为a=2,b=10,c=-7, ① b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0, ② ，所以 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步? 答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c的取值，这是 要先写①式的原因； 因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2-4ac的值， 如果b2-4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写② 式的原因. (二)新课 1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重 要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即 Δ=b2-4ac(注意不是Δ= 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么? 3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号AB表 示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有： 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根. 　　 注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是 　　 定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0. 　　 定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0. 　　 定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0. 显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6， 互逆定理. 定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解) 定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解) 　　运用根的判别式解题举例 　　例1 不解方程，判别下列方程根的情况. 　　(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0. 解：(1)因为Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根. 　　(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝ (2) 原方程变形为16y2-24y+9=0,因为Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有 两个相等实数根. (3) 原方程变形为5x2-7x+5=0,因为Δ=(-7) 2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根. 　　例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的. 　　解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+81-8k2-2 4k-32k=0，化简，得k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1. 　　当k=-7时，原方程为2x2-16x+32=0,得x1=x2=4; 当k=1时，原方程为2x2-8x+8=0,得x3=x4=2. (问：本题的算理是什么?答：是定理5) 　　例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值. 　　分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数. 　　解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×