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1元2次方程根的分布导学案
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一元二次方程根的分布
【均值定理回顾】
求函数y = EQ \F(x+1,x2-3x+2) (1x2)的值域．
一．知识要点
二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．
若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
1．二次方程有且只有一个实根属于的互相推出条件
若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．
若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：
（1） （2）
（3） （4）
由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：
若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的互相推出条件是．
2．二次方程两个根都属于的互相推出条件
方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：
（1） （2）
（3） （4）
由此可得出结论：
方程的两个实根都属于区间的互相推出条件是：
这里 ．
3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的互相推出条件是：
这里．
4．二次方程的两个实根都在的右侧的互相推出条件是：
这里．
二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的互相推出条件是：
这里．
二．典例剖析
例1：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．
变式：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．
例2．已知方程有两个负根，求的取值范围．
例3．求实数的范围，使关于的方程．
（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（２）有两个实根，且满足．
（３）至少有一个正根．
例4．已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．（两种方法解答）
变式：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
三．当堂检测
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．
3．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．
4．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．
5．已知方程在上有两个根，求的取值范围．
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