1元2次方程根的判别式.韦达定理.docVIP

PAGE - 2 - 新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义 中考要求 内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 知识点睛 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：． 也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况(是否有实数根)由确定． 判别式：设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根； 若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根． 说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;有两个相等的实数根时，;没有实数根时，． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用： 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 二、韦达定理 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 若，则方程必有实数根． 若，方程不一定有实数根． 若，则必有一根． 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面： 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 重、难点 转化思想的渗透 对根的判别式的理解 例题精讲 一、判断方程根的情况 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）；（2）；（3）。 ? 不解方程，判别方程的根的情况。 ? 解关于的方程 ? 已知关于的方程①有两个相等的实数根． 求证：关于的一元二次方程②必有两个相等的实数根． 【巩固】已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明. 【巩固】(1998年山东省竞赛)设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程 ， ， ， 不可能都有2个相等的实数根． 二、应用题 （2006·湛江市