1元2次方程综合练习.docVIP

 PAGE 12 一元二次方程 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），才能确定a、b、c的值。 2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法： （2）配方法： （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式 根的判别式△＝b2－4ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程根与系数关系。 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 5. 分式方程的解法 一般有两种：即去分母法和换元法。 解分式方程时，需要将方程的两边同时乘以各分式的最简公分母，从而约去各分母，把原来的分式方程转化为整式方程，在转化的过程中可能产生增根，所以在解分式方程时必须验根。 6. 二次三项式的配方 判断一元二次方程根的情况时常用 7. 十字相乘法 典型例题 例1. 判断下列方程是不是一元二次方程？ 例2.用适当的方法解关于x的方程 1、 2、 3、 4、 5、 6、； 7、 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-）2+x2=5 10、 11、 12、 13、 14、 例3.当为何值时，关于的方程⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根。 2．已知x?=?1是一元二次方程的一个根，则 的值为 例4. 求出这时方程的根。 练习 1．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解． 2．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根． 3．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值． 4．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根． 例6. （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。 1．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0． (1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m的值． 2．已知关于x的两个一元二次方程： 方程： ① 方程： ② (1)若方程①、②都有实数根，求k的最小整数值； (2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根． 3 .已知是方程的一个根，求的值. 4、已知是方程的根，求代数式的值. 5、已知：．求代数式的值 6、已知，求的值. 7. 已知关于方程. （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的底边3，另两边，恰好是此方程的两根，求△ABC的周长. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程的两根，求BC的长. 9．已知关于x的两个一元二次方程： 方程①: ; 方程②: . （1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②； （2）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个