1元非线性方程的数值解法.docVIP

实习题目：一元非线性方程的数值解法 【实习目的】 1 通过实习进一步掌握牛顿迭代法和弦截法的基本思想； 2 通过实习进一步掌握牛顿迭代法和弦截法的计算步骤，并能灵活应用； 3 通过上机调试运行，对方程求根的牛顿迭代法和弦截法程序进行改进，逐步培养解决实际问题的编程能力； 【实习要求】 1 熟悉Turbo C 的编译环境； 2 实习前复习牛顿迭代法和弦截法的基本思想和过程； 3 实习前复习牛顿迭代法和弦截法的计算步骤。 【实习设备】 1 硬件设备：单机或网络环境下的微型计算机一台； 2 软件设备：DOS3.3以上操作系统，Turbo C 2.0编译器。 【实习内容】 1）实习一 牛顿迭代法 （1）用牛顿迭代法求方程在x=2.0附近的一个实根，精度要求为。 要求设置一个最大迭代次数N , 如果迭代次数超过预先设定的最大次数N , 但仍然达不到精度要求时，则认为方法失败，并给出失败信息。 成功的情况下，要求输出的格式为如下形式: i=1 x1=2.000 000 … … … … 失败的情况下，要求输出的格式为如下形式： After % d repeate , no solved 程序为： # includestdio.h # includemath.h # define N 10 # define k 0.000001 double f(double x) { return exp(x)-x-3; } double g(double x) { return exp(x)-1; } void main() { int i; double x2,x1=2.0; for(i=1;i=N;i++) { printf(When i=%d,x=%.6f\n,i,x1); x2=x1-f(x1)/g(x1); if(fabs(x2-x1)k) x1=x2; else { printf(When i=%d,x=%.6f\n,i,x2); break; } } if(iN) printf(After %d repeate,no solved and if you want to obtain the more accurate value,please use another means!,N); } 运行结果截图为： （2）思考题 ① 牛顿迭代法的基本思想是什么？ 牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 ② 若将题中的 ，将其取更大一点的值 ，迭代次数是否会发生变化？ 迭代次数会发生变化。 2）实习二 弦截法 （1）用弦截法求方程的一个实根，初始近似值分别去0.5和10.6，精度要求为。 （2）要求： ① 推导求出x的式子x=f(x) 。 ② 程序中要求设置一个最大迭代次数N 。 ③ 对于输入的初始近似值x0 , x1要求加以判断，即如果f(x0)f(x1)0 ，则继续使用弦截法求方程的根 ；否则重新选取x0 , x1 , 直到f(x0)f(x1) 0 。 ④ 方程无解的情况下，要求输出方程无解的信息。 ⑤ 方程有解的情况下，请写出程序运行的结果。 程序编写为： #includestdio.h #includemath.h #de