1概率论与数理统计第6章.docVIP

第六章 样本及抽样分布 前面五章我们讲述了概率论的基本内容，随后的四章将讲述数理统计.数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断. 数理统计的内容包括：如何收集、整理数据资料;如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出判断.后者就是我们所说的统计推断问题.本书只讲述统计推断的基本内容. 在概率论中，我们所研究的随机变量，它的分布都是已知假设的，在这一前提下去研究它的性质、特点和规律性，例如求出它的数字特征，讨论随机变量函数的的分布，介绍常用的各种分布等.在数理统计中，我们研究的随机变量，它的分布是未知是的，或者是不完全知道的，人们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种推断的. 本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布. § 1 随机样本 我们知道，随机试验的结果很多是可以用数来表示的，另有一些试验的结果虽是定性的，但总可以将它数量化.例如，检验某个学校学生的血型这一试验，其可能结果有型、型、型、型4种，是定性的.如果分别以1,2,3,4,依次记这4种血型，那么试验的结果就能用数来表示了. 在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标（例如 研究某种型号的灯泡的寿命这一数量指标）.为此，考虑这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察.我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体.总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的称为有限总体，容量无限的称为无限总体. 例如在考察某大学一年级男生的身高这一试验中，若一年级男生共2000人，每个男生的身高是一个可能观测值，所形成的总体中共含2000个可能观测值，是一个有限总体.又如考察某一湖泊中某种鱼的含汞量，所得总体也是有限总体.观察并记录某一地点每天（包括以往、现在和将来）的最高气温，或者测量一湖泊任一地点的深度，所得总体是无限总体.例如，考察全国正在使用的某种型号灯泡的寿命所形成的总体，由于可能观测值的个数很多，就可以认为是无限总体. 总体中的每一个个体是随机试验的一个观测值，因此它是某一随机变量的值，这样，一个总体对应于一个随机变量.我们对总体的研究就是对一个随机变量的研究，的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征.今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体. 例如，我么检验自生产线出来的零件是次品还是正品，以0表示产品为正品，以1表示产品为次品.设出现次品的概率为（常数），那么总体是由一些“1”和一些“0”所组成，这一总体对应于一个具体的参数为的（0—1）分布： 的随机变量.我们就将它说成是（0—1）分布总体.意指总体中的观察值是（0—1）分布随机变量的值.又如上述灯泡寿命这一总体的是指数分别总体，意指总体中的观察值是指数分布随机变量的值. 在实际中，总体的分布一般是未知的，或只知道它具有某种形式而其中包含着未知参数.在数理统计中，人们都是通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体分布得出推断的.被抽出的部分个体叫做总体的一个样本. 所谓从总体抽取一个个体，就是对总体进行一次观察并记录其结果.我们在相同情况下对总体进行次重复的、独立的观察.将次观察结果按试验的次序记为.由于是对随机变量观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为是相互独立的，且都是与具有相同分布的随机变量.这样得到的称为来自总体的一个简单随机样本，称为这样样本的容量.以后如无另外说明，所提到的样本都是指简单的随机样本. 当次观察一经完成，我们就得到一组实数，它们依次是随机变量的观察值，称为样本值. 对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单随机样本，但放回抽样使用起来不方便，当个体的总数比得到的样本的容量大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理. 至于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用不放回抽样.例如，在生产工程中，每隔一定时间抽取一个个体，抽取个就得到一个简单随机样本，实验室中的记录，水文、气象等观察资料都是样本.试制新产品得到的样品的质量指标，也常被认为是样本. 综上所述，我们给出以下定义. 定义 设是具有分布函数的随机变量，若是具有同意分布函数的、相互独立的随机变量，则称为从分布函数（或总体、或总体）得到的容量为的简单随机样本，简称样本，它们的观察值称为样本值，又称为的个独立的观察值. 也可以将样本看成是一个随即向量，写成（），此时样本值相应的写成（）.若（）与（)都是相应于样本