1类2阶常系数线性非齐次方程的特解公式.docVIP

xingjinxi 第  PAGE 2 页 共  NUMPAGES 2 页 xingjinxi 方程的一个特解公式 邢进喜 黑龙江农业经济职业学院基础部，黑龙江，牡丹江，157041 摘要 本文给出了方程的一个特解公式，并举例说明了该公式在求某些微分方程特解时的方便快捷之功效。 关键词 微分方程 特解公式 对于微分方程 ， （1） 其中均为常数，且，记 ，， （2） 则有 引理 是方程（1）的特征根且. 证 是方程（1）的特征根 且 且. 定理 方程（1）在不是其特征根时有一特解为 ， （3） 在是其特征根时有一特解为 . （4） 公式（3）与（4）可运用我们熟知的待定系数法并结合引理推得，也可将（3）（4）式直接代入方程（1）并利用引理验证其正确性. 例1 求微分方程的一个特解. 解 运用公式（3）， ，， . 例2 求微分方程的???个特解. 解 因为 ，， 所以由公式（4）得 . 下面针对方程（1）的两种常见特殊情形给出定理的两个推论. 在定理中令，，可得 推论1 方程在不是其特征根时有一特解为 （其中，）， （5） 在是其特征根时（此时，）有一特解为 . （6） 特别地，当时，公式（5）（6）分别变为 ， （5/） . （6/） 例3 求微分方程的一个特解. 解 运用公式（5）， ，， . 例4 求微分方程的一个特解. 解 显然是特征根，故由公式（6）得 . 与推论1类似，在定理中令，，可得 推论2 方程在不是其特征根时有一特解为 （其中，）， （7） 在是其特征根时有一特解为 . （8） 特别地，当时，公式（7）（8）分别变为 ， （7/） . （8/） 例5 求微分方程的一个特解. 解 显然不是特征根，故由公式（7/）得 . 例6 求微分方程的一个特解. 解 显然是特征根，故由公式（8/）得 .