1阶常微分方程解法总结.docVIP

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 当时，得到，两边积分即可得到结果； 当时，则也是方程的解。 例1.1、 解：当时，有，两边积分得到 所以 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为 ②、形如 当时，可有，两边积分可得结果； 当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。 例1.2、 解：当时，有两边积分得到 ，所以有； 当时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。 ②、形如 解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。 ③、形如 解法：、，转化为，下同①； 、，的解为，令 得到，，下同②； 还有几类： 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 解：令，则，代入得到，有 所以，把u代入得到。 例2.2、 解：由得到，令，有，代入得到 ，令，有，代入得到，化简得到，，有，所以有，故代入得到 （3）、一阶线性微分方程： 一般形式： 标准形式： 解法：1、直接带公式： 2、积分因子法： ， 3、IVP：， 例3、 解：化简方程为：，则 代入公式得到 所以， (4)、恰当方程： 形如 解法：先判断是否是恰当方程： 如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 , 有； 例4、 解：由题意得到， 由得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个 由得，两边对y求偏导得到，得到，有， 故，由，得到 (5)、积分因子法： 方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。 ①当且仅当，原方程有只与x有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。 ②当且仅当，原方程有只与y有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。 例5.1、 解：由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化为，得到解为 例5.2、 解:由题意得到，，有 有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为： (6)、贝努力方程： 形如, 解法：令，有，代入得到，下同（3） 例6、 解：令，有，代入得到，则， 有，，把u代入得到. (7)、一阶隐式微分方程： 一般形式：，解不出的称为一阶隐式微分方程。 下面介绍四种类型： ①、形如， 一般解法：令，代入得到，两边对x求导得到，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)， 1、得出解为，那么原方程的通解为 2、得出解为，那么原方程的通解为 3、得出解为，那么原方程的通解为 ②、形如 一般解法：令，代入有，两边对y求导，得到，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解，那么原方程的通解为 ③、形如 一般解法：设，，两边积分得到，于是有原方程的通解为 ④、形如 一般解法：设，由关系式得，有，两边积分得到，于是有 例7.1 解：令，得到，两边对y求导，得到， 有，得到，于是通解为 例7.2 解：令，得到，两边对x求导，得到，有 ，两边积分得到，于是通解为 例7.3 解：设有，所以 于是通解为 例7.4 解：设有，所以 于是通解为 (8)、里卡蒂方程： 一般形式： 一般解法：先找出一个特解，那么令，有，代入原方程得到 ， 化简得到 ，为一阶线性微分方程，解出 那么原方程的通解为 例8 解：我们可以找到一个特解，验证：，代入满足原方程。 令，，代入有， 化简得到，，所以有 所以原方程的解为 或