1阶微分方程的初等解法.docVIP

一阶微分方程的初等解法 摘要：本文分析了一阶微分方程的几种初等解法类型，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题. 关键词： 变量变换 变量分离方程 0. 引言 对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把它们归结为方程的积分问题.虽 然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分.因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的.下面我们就对这些类型方程的解法一一作以总结. 1．变量分离方程 形如 (1、1) 的方程，称为变量分离方程，这里、分别是的连续函数 如果 ，我们将（1、1）改写成，两边积分得， （1、2） 其中为任意常数. 如果存在，使，可知也是（1、1）的解. 若它不包括在方程的通解（1、2）中，必须予以补上. 例 1 求方程 （1、3） 的通解，其中是的连续函数. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 ln 这里是任意常数.由对数定义，即有 即 令，得 （1、4） 此外，也是（1、3）的解，而它包括在（1、4）中，因而（1、3）的通解为（1、4），其中为任意常数. 2.齐次方程 形如 （2、1） 的方程，称为齐次方程，这里的的连续函数. 利用变量变换将（2、1）化为变量分离方程.作变量变换 （2、2） 即，于是 （2、3） 将（2、2）、（2、3）代入（2、1），则原方程变为 整理可得 （2、4） 方程（2、4）是一个变量分离方程. 例 2 求方程 解 将方程改写为 以及代入，则原方程变为 （2、5） 分离变量，得到 两边积分，得到（2、5）的通解 于是 （2、6） 其中是任意常数。 此外，方程（2、5）还有解. 代回原来的变量，即得原方程的通解 及解 3．线性方程 形如 （3、1） 的方程称为一阶线性微分方程，其中在考虑区间上是的连续函数. 若 ，（3、1）变为 （1、3） 称为一阶线性方程. 若，（3、1）称为一阶非齐线性方程. （1、3）是变量分离方程，我们已求得它的通解为 （1、3） 其中是任意常数. 现在讨论（3、1）的通解求法。在（1、4）中，将变易为的待定函数使它满足方程（3、1），从而求出. 为此，令 （3、2） 微分之，得到 （3、3） 以（3、2）、（3、3）代入（3、1），得到 即 积分后得到 （3、4） 其中是任意常数。将（3、4）代入（3、2），即得 （3、5） 这就是方程（3、1）的通解. 例 6 求方程的通解，这里为常数. 解 将方程改写为