2.1变量分离方程和可化为变量分离方程的方程求解.doc.docVIP

第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 (或) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数和分别是的连续函数. 2) 求解方法 如果，方程(2.1)可化为， 这样变量就分离开了,两边积分,得到 （2.2） 把分别理解为的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题 例1 求解方程 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的正常数. 或解出显式形式 例2 解方程 并求满足初始条件：当时.的特解. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的常数.此外，方程还有解. 为确定所求的特解，以.代入通解中确定常数，得到 因而，所求的特解为 例3 求方程 （2.3） 的通解，其中是的连续函数. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 这里的是任意常数.由对数的定义，即有 即 令，得到 （2.4） 此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许，则也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中是任意常数. 注: 1.常数的选取保证(2.2)式有意义. 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件的一个解，表示的是一条过点的曲线. 2、可化为变量分离方程的类型 1）.形如 （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的是的连续函数. 另外,ⅰ)对于方程 其中函数和都是和的次齐次函数，即对有 事实上，取，则方程可改写成形如(2.5)的方程. ⅱ)对方程 其中右端函数是和的零次齐次函数，即对有 则方程也可改写成形如(2.5)的方程 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化