2.2算子及算子方程.docVIP

2.2 算子和算子方程 2.2.1 线性算子 1. 定义：设和都是线性函数集，且，若元素经算子映射得唯一的确定的元素，其映射关系为 并满足线性运算律(?、?为任意常数) 则称为线性算子。其中：是的定义域，是的值域。 若对于任意的，都有 成立，则称为线性连续算子。 若对于任意的，都有 (C为有限常数) 成立，则称为线性有界算子。 可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。 2. 运算性质 设A、B为线性算子，、分别为其定义域 (1) 算子的和——若 (2) 算子的积——若， (3) 算子的逆——若，则 ， 称与B互为逆算子。。 3. 线性算子方程： 可分为两种类型： (1) 设A是已知线性算子，若其值域中的已知点由定义域中相应未知点映射而得，即 则称之为确定性算子方程。 由算子方程的运算性质： 确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若存在，则解答是唯一的，连续，则解答是稳定的。 (2) 设A为已知线性算子，其值域等于定义域，且(为待定常数)在值域中也是未知点，则 称为本征值算子方程。 本征值算子方程的求解任务： ①确定所取的待定的值； ②求出所对应的解。 2.2.2对称算子和正定算子 1. 对称算子 定义1：设，则 称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。 定义2：若函数集中的任何两个元素U和V所构成含算子的内积都满足 则称A为D上的对称算子。 定义3：若凡都有 则A亦称为D上的对称算子。 2. 正定算子 (1) 定义：若凡都有 (a为实数) 称A为D上的下有界算子。当a=0时，称A为D上的非负算子。 (2) 定义：若凡都有 则称A为D上的正算子。 (3) 定义：若凡都有 (k为正数) 则称A为D上的正定算子。 由以上定义可知： 正定算子 ? 正算子 ? 非负算子 ? 下有界算子 ? 对称算子 ? 线性算子。 2.2.3自伴算子 1. 伴随算子 定义：设A是H空间的线性连续算子，若存在B，使对于任何都有： 则称B为A的伴随算子，记为=。 2. 自伴算子 基于上面的定义，当B = A时， 则称为自伴算子，即。 由上可知，自伴算子就是定义在H空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦为自伴算子。 3. Lagrange意义下的自伴算子 通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集上是线性连续对称算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是Lagrange意义下的自伴算子。 限定算子自伴性的边界条件——自伴边界条件 ? 自伴边值问题。 4. 自伴边值问题 (1) Poisson边值问题 (2)Helmholtz边值问题 标量形式 矢量形式 若， ? (3) Fredholm边值问题 第一类 第二类