2.9函数的应用举例(第1课时).docVIP

函数的应用举例（第一课时）? 【学习目标】 1．复习函数的有关知识． 2．学会建立函数关系式，能解决简单的应用问题． ? 【学习障碍】 不能正确理解题意，不能正确设出自变量，从而列出关系式；不考虑实际问题的意义，当成一般函数进行处理． ? 【学习策略】 1．预习课本P90~92页． 2．解数学应用题，需要有一定的阅读理解能力，能看懂题目要求，弄明白题目的背景；能根据需要设出适当的未知数，建立函数关系式．并注意未知数的取值范围． 3．解应用题的一般步骤： （1）阅读理解，认真审题． 认真阅读题目，分析已知是什么，求什么，思考问题涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化，审题时要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳，精于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化． （2）引进符号，建立模型． 对题中的关键量，引入数学符号，将各种关系数学化，一般要运用已学的数学知识建立适当的数学关系，将应用问题转化为一个数学问题．实际问题转化为数学问题，就是建立数学模型． （3）解决所建立的数学模型． 运用数学的方法，解决所建立的常规数学问题，求出结果． （4）写答语． 例题分析 ［例1］某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在提高售价以赚取更多利润．已知每涨价0．5元，该商店的销售量会减少10件，问将售价定为多少时，才能使每天的利润最多？最大利润为多少？ 解：设每件售价定为x元，则比原价提高了（10－x）元，于是销售件数减少了×10＝20×（x－10）件．即每天销售价数为200－20（x－10）＝400－20x件． ∴每天所获利润为： y＝（400－20x）（x－8）＝－20x2＋560x－3200＝－20（x－14）2＋720 故当x＝14时，有ymax＝720． 答：售价定为每件14元时，可获最大利润，其最大利润为720元． ［例2］某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品分别为1万件、1．2万件、1．3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由． 解：设y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0）则 ∴f（x）＝－0．05x2＋0．35x＋0．7 f（4）＝－0．05×42＋0．35×4＋0．7＝1．3 再设y2＝g（x）＝abx＋c,则 解得 ∴g（x）＝－0.8×0.5x＋1.4 g（4）＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35 ∵1.35与1.37较接近． ∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好． ［例3］某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R（x）＝,其中x是仪器的月产量． （1）将利润表示为当月产量的函数f（x）; （2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润） 解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x,从而 f（x）＝ （2）当0≤x≤400时，f（x）＝－x2＋300x－20000＝－（x－300）2＋25000 ∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000, 当x400时，f（x）为减函数． ∴f（x）60000－100∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000， 答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元． 点评：建立函数关系是解决函数应用问题中最关键，也是最困难的一步，一般地，建立函数关系式常用的方法有： 待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数表达式，或者可以确定是某一函数，这时利用题设的某些自变量与函数值的关系可以确定其系数，从而求得函数关系式，如课本第86页例2，第89页第5题，第90页第6题． 归纳法：先让自变量取一些特殊值或较简单的值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式，如课本第86页例1、第89页第3题等． 方程法：用x、y表示自变量及其他相关量，根据例题的实际意义或相应的数学知识列出等式，再把等式看成关于函数y的方程，并解出y，从而得到函数关系式，实际上函数关系式就是含x、y的方程． ? 【同步达纲练习】 一、选择题 1．要在墙上开一个上半部分为半圆形，下半部分为矩形的窗户，在窗框长度为定长l的条件下，要使窗户能透过更多的光线，应设计窗户中矩形的高为 A． B． C． D． 2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个）这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小