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静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测 数学试卷（文科） 2015.04. （满分150分，考试时间120分钟） 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知抛物线的准线方程是，则 ． 2．已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为 ． 3．复数（为虚数单位）的模为 ． 4．函数的值域为 ． 5．若，则 ． 6．在的展开式中，的系数是 ． 7．方程的解集为 ． 8．已知，，若随机选取，则直线不经过第二象限的概率是 . 9．圆的圆心到直线的距离为 ． 10．已知、是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则、两点之间距离的最大值是 . 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤． 12．设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是 ． 13．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则数列的公比 ． 14．已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 ． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 16.已知偶函数的定义域为，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A）（B）（C）（D） 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ） （A）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B）②为循环体 （C）③是判断是否继续循环的终止条件 （D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 18.定义：最高次项的系数为1的多项式（）的其余系数均是整数，则方程的根叫代数整数．下列各数不是代数整数的是（ ） （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 如图，在正三棱柱中，已知， 三棱柱的体积为． (1)求正三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小. 20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数满足关系，其中是常数. （1）若，，求的解析式，并写出的递增区间； （2）设，若在上恒成立，求常数的取值范围． 21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某公园有个池塘，其形状为直角，，的长为2百米，的长为1百米． （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点，如图(1)，使得，，在内喂食，求当的面积取最大值时的长； （2）若准备建造一个荷塘，分别在、、上取点，如图(2)，建造连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使为正三角形，记，求边长的最小值及此时的值．(精确到1米和0.1度) 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分． 在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程； （2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； （3） 记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△的面积为时，求直线的方程． 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列. （1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由； （2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使； （3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由． 3区2014学年第二学期高三二模质量抽测（文、理） 参考答案及评分标准 2015.04.18 说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，