2015解步步高大1轮讲义(理)9.8.docVIP

§9.8　曲线与方程 1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件. (　√　) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线. (　×　) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (　×　) (4)方程y＝eq \r(x)与x＝y2表示同一曲线. (　×　) 2.方程(x2＋y2－4)eq \r(x＋y＋1)＝0的曲线形状是 (　　) 答案　C 解析　由题意可得x＋y＋1＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x＋y＋1≥0，)) 它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分. 3.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 (　　) A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0 C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0 答案　D 解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 4.已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝x2－6，则点P的轨迹方程是__________. 答案　y2＝x 解析　eq \o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq \o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)， ∴eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x. 5.已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案　4π 解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得eq \r(?x＋2?2＋y2)＝2eq \r(?x－1?2＋y2)， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0. ∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 题型一　定义法求轨迹方程 例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 思维启迪　利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0).设动圆M的半径为r，则由动 圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a＝eq \f(3,2)，c＝2，∴b2＝c2－a2＝eq \f(7,4). ∴点M的轨迹方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(4y2,7)＝1 (x≤－eq \f(3,2)). 思维升华　求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方