2015解步步高大1轮讲义(理)9.5.docVIP

§9.5　椭　圆 1.椭圆的概念 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若ac，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若ac，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (ab0)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq \f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2  1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (　×　) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距). (　√　) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. (　×　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆. (　√　) 2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值是 (　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(8,3) 答案　D 解析　由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(m－2,m)＝eq \f(1,4)，∴m＝eq \f(8,3). 3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是(　　) A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 答案　D 解析　由题意知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________. 答案　(0,1) 解析　将椭圆方程化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1， ∵焦点在y轴上，∴eq \f(2,k)2，即k1，又k0，∴0k1. 5.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________. 答案　eq \r(3)－1 解析　设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，有2a＝(1＋eq \r(3))c， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1. 题型一　椭圆的定义及标准方程 例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________. (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)、P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则椭圆的方程为________. 思维启迪