2015解步步高大1轮讲义(理)9.7.docVIP

§9.7　抛物线 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2＝2px (p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. (　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(eq \f(a,4)，0)，准线方程是x＝－eq \f(a,4). (　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形. (　×　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F(eq \f(p,2)，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (　√　) 2.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B.[－2,2] C.[－1,1] D.[－4,4] 答案　C 解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 3.(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于 (　　) A.2eq \r(2) B.2eq \r(3) C.4 D.2eq \r(5) 答案　B 解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)， 则M到焦点的距离为xM＋eq \f(p,2)＝2＋eq \f(p,2)＝3， ∴p＝2，∴y2＝4x.∴yeq \o\al(2,0)＝4×2＝8， ∴|OM|＝eq \r(4＋y\o\al(2,0))＝eq \r(4＋8)＝2eq \r(3). 4.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 答案　y2＝4x 解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 5.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为________. 答案　4 解析　因为椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.  题型一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标. 思维启迪　由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题. 解　将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±eq \r(6). ∵eq \r(6)2，∴A在抛物线内部，如图. 设抛物线上点P到准线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA| ＋d，当PA⊥l时，|P