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 PAGE - 7 - 二元一次方程组 第20课时 本章知识框架 本节引例 ●加工某种产品需要两道工序，第一道工序每人每天可以完成900件，第二道工序每人每天可以完成1200件。现有7位工人参加这两道工序，应该怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？ 解法一： 解法二： 一、二元一次方程组的相关概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，标准形式为ax+by=c(a≠0,b≠0).?在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；?“未知数的项的次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，如2xy的次数是2，故方程2xy-3=1不是二元一次方程；?二元一次方程的左右两边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程。 二元一次方程的解 ?概念：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解； ?特点：二元一次方程的每个解都包括两个未知数的值，是一对数值，而不是一个数值； ?个数:一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。 二元一次方程的整数解的问题 由于二元一次方程的解不唯一，所以在实际生活中关于求二元一次方程的整数解的例子可能有许多种解。 例如小明带10元钱去买圆珠笔和笔记本，已知圆珠笔1元一支，笔记本2元一本。问小明共有几种不同的购买方法？ 解：设小明买了x支圆珠笔，y本笔记本。 依题意可得：x+2y=10 由于是实际问题，所以求的是方程x+2y=10的整数解。 由方程得：2y=10-x,即y=5-0.5x 当x=2时，y=4； 当x=4时，y=3； 当x=6时，y=2； 当x=8时，y=1；所以有四种不同的买法。 二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程就叫做二元一次方程组。标准形式为，其中a1,a2,b1,b2不同时为0.注：?在方程组的各方程中，相同字母必须代表同一数量；?二元一次方程组不一定由两个二元一次方程构成，如y=3和x-y=15也可以构成二元一次方程组；?二元一次方程组中的各方程应是整式方程。 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 如何检验一对数是否为某二元一次方程组的解 常用方法：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有同时满足每个方程时，才是方程组的解，否则就不是。 二元一次方程组解得情况 ?当时，方程组有唯一的一组（公共）解； ?当时，方程组无解； ?当时，方程组有无数组解。 例1 下列方程组中，哪些是二元一次方程组 ? ? ? ④⑤⑥ 二元一次方程组的解法 二元一次方程组中有两个未知数，如果消除其中一个未知数，将二元一次方程组化为我们所熟知的一元一次方程，即可解出一个未知数，然后设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，注意解决的思想方法，叫做消元思想。解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法，下面进行逐一介绍。 代入消元法 先在二元一次方程组的一个方程中，用一个未知数去表示另一个未知数，再代入另一个方程，进行消元。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①变：选一个系数比较简单的方程进行变形，变为y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将方程变为一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④复代：将求出的一个未知数的值代入方程组中的任一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的未知数用大括号联立起来，即得二元一次方程组的解。 加减消元法 两个二元一次方程组中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法就叫做加减消元法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①化：将方程组中的方程化为有一个未知数系数相等的形式； ②加减：根据系数特点将变形后的两个方程相加减，得到一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的数值； ④代：将求得的一个未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一未知数的值； ⑤联：把求得的未知数用大括号联立起来，即得二元一次方程组的解。 如何选择使用代入法与加减法？ 一般情况下，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较简单；当两个方程中含某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较简便。 例1 解方程组 例2 解方程组 列二元一次方程组解实际应用题 列二元一次方程组解实际应用题的一般步骤： ①审：审题，分析