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22.2.2解1元2次方程公式法
22.2解一元二次方程(公式法)
教学内容
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程
一、复习引入
(学生活动)用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=,x2=
解:移项,得:ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+x=-
配方,得:x2+x+()2=-+()2 即 (x+)2=
∵b2-4ac≥0且4a20
∴≥0
直接开平方,得:x+=±
即x=
∴x1=,x2=
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2
(3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0
应用拓展
例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.
(2)要使它为一元一次方程,必须满足:
①或②或③
解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时,m+1=1+1=2≠0
当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)
∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
a=2,b=-1,c=-1
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9
x=
x1=,x2=-
因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-.
(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0
因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意.
②当m2+1=0,m不存在.
③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意.
当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
解得:x=-1
当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-.
一、选择题
1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2.方程x2+4x+6=0的根是( ).
A.x1=,x2= B.x1=6,x2=
C.x1=2,x2= D.x1=x2=-
3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ).
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2
二、填空题
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.
2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.
三、综合提高题
1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.
2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=-,x1·x2=;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如
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