2、关节2充分发挥方程的工具性作用.docVIP

关节二 充分发挥方程的工具性作用 方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是： 凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。 一、方程用于实际问题中的求值 这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。 例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0℃以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。 秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。 【观察与思考】 这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0℃；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0℃，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即 （事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。） 简解：设在0时至次日5时之间的时，气温降到0℃，则依题意有： （时） 设在次日5时至次日8时之间的时气温升到0℃，依题意有： ，解得（时） 。 气温在0℃以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。 二、方程用于数学问题中的价值 数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。 1、借助方程，解决某些“数与式”的问题 例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数， （1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？ （2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【观察与思考】根据题中规定知道，若（※），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于的方程有无整数解的问题。 解：（1）方程有非负整数解3。即 28是神秘数。 方程，没有整数解，2008不是神秘数。 （2）， 令解得不是整数。 两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。 例2 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ） 输入 计算的值 输出结果 是 否 A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个 【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：， 有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。 解：选C。 对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。 2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题 例3 图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为，则六边形的周长是 【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。 从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为，则有。 图中六边形的六条边依次为： 解： 例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。 A B C D E F G N M 【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。 解：。 ∽ 得关于EN的方程 解得（不合题意，舍去）。 许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。 3、借助方程，解决函数相关的问题 例5 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和 B（3，0）作轴的垂线，