2元1次方程组特殊解法.docVIP

黄冈教育@张家界教育中心 内部使用  PAGE 6 二元一次方程组的特殊解法 1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。 这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。 2、灵活消元 （1）整体代入法 5. 解方程组 解：原方程组可变形为 继续变形为 2代入1得： 解得： 方程组的解为 （2）先消常数法 例6. 解方程组 解：1×5－2得： 3代入1得： 把代入3得： 所以原方程组的解为 （3）设参代入法 例7. 解方程组 解：由2得： 设，则 把3代入1得： 解得： 把代入3，得： 所以原方程组的解是 （4）换元法 例8. 解方程组 解：设，则原方程组可变形为 ，解得 所以 解这个方程组，得： 所以原方程组的解是 （5）简化系数法 例9. 解方程组 解：1＋2得： 所以 1－2得： 由3、4得： 解三元一次方程组的消元技巧 解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考. 一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数 例1．解方程组 分析：方程组中含的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数. 解：①+②×2，得，④ ②×3-③，得， ⑤ 解由④、⑤组成的方程组，得，⑥ 把⑥代入①，得， 所以原方程组的解是. 二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数. 例2．解方程组 分析：因为方程①中缺少未知数项，故而可由②、③先消去，再求解. 解：②×3+③，得，④ 解由①、④组成的方程组，得， ⑤ 把⑤代入②，得， 所以原方程组的解为. 三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元. 例3．解方程组 分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数、的项，而都含有未知数的项，从而可用含的代数式分别表示、，再代入②就可以直接消去、了. 解：由③，得， ④ 把①、④代入②，得， ⑤ 把⑤代入①，得， ⑥ 把⑤代入③，得， 所以原方程组的解是. 四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元 1．整体代入法 即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的. 例4．解方程组 分析：注意到①中的，这就与②有了联系，因此，①可化为，把②整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值. 解：由①，得， ④ 把②整体代入④，得， 把代入①、③，得. ⑤ 解⑤，得. 所以原方程组的解是. 2．整体加减法 例5．解方程组 分析：方程???中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法. 解：①+②+③，得， ④ 再由④分别减去①、②、③各式，分别得， ，. 所以原方程组的解是. 3．整体改造 例6．解方程组 分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：中含、项的系数是①中对应系数的4倍；③中含、项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解. 解：由②、③，得 再将①代入④、⑤，得，.把、的值代入，得. 所以原方程组的解为. 4．参数法 例7．解方程组 分析：由于，所以可设，则得 ，，. ③ ③代入②可得，代入③易求、、. 解：设，则得，，. ③ ③代入②，得，代入③，得. 评注：这里的被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数、、的直接变换消元，从而大大减少了运算量.