2阶常微分方程解.docVIP

第七节 二阶常系数线性微分方程的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ＋p＋qy＝0 (7.1) 其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是，，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其，，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在???等函数中，指数函数erx，符合上述要求，于是我们令 y＝erx (其中r为待定常数)来试解 将y＝erx，＝rerx，＝r2erx代入方程(7.1) 得 r2erx＋prerx＋qerx＝0 或 erx（r2＋pr＋q）＝0 因为erx≠0，故得 r2＋pr＋q＝0 由此可见，若r是二次方程 r2＋pr＋q＝0 (7.2) 的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时er１x，er2x是方程(7.1)的两个特解。 因为 ＝e≠常数 所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为 y＝C1er1x＋C2er2x (2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即 有r1＝r2＝，这样只能得到方程(7.1)的一个特解y１＝er１x，因此，我们还要设法找出另一个满足≠常数，的特解y2，故应是x的某个函数，设＝u，其中u＝u(x)为待定函数，即 y2＝uy1＝uer１x 对y2求一阶，二阶导数得 ＝er1x＋r１uer1x＝(＋r1u)er1x ＝(r2１u＋2r1＋)er1x 将它们代入方程(7.1)得 (r21u＋２r1＋)er1x＋p(＋r1u)er1x＋quer1x＝0 或 ［＋(2r1＋p) ＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0 因为er1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q＝0，又因r1＝－故有2r1＋p＝0，于是上式成为 ＝0 显然满足＝0的函数很多，我们取其中最简单的一个 u(x)＝x 则y2＝xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是 y＝C1er1x＋C2xer1x＝(C1＋C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ 此时方程(7.1)有两个特解 y1＝e(α＋iβ)x y2＝e（α－iβ）x 则通解为 y＝C1e（α＋iβ）x＋C2e（α－iβ）x 其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式 eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx 有 (eix＋e－ix)＝cosx (eix－e－ix)＝sinx (y1＋y２)＝eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβx (y1－y2)＝eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx 由上节定理一知， (y1＋y2)， (y1－y2)是方程(7.1)的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为 y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx 或 y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx) 其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。 综上所