- 1、本文档共19页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
2阶非齐次线性微分方程的解法研究
PAGE
PAGE 19
引言
数学分析中所研究的函数,就是指自变量与因变量之间的一种关系。但在实际问题中,往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系(即函数关系),反而比较容易从其变化过程中求出自变量,因变量及它们的导数或微分的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式,称之为微分方程。
微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外,着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。
1 线性微分方程的基本理论与初等解法
1.1 基本理论
(1.1)
(1.2)
方程(1.1)称为n阶非齐次线性微分方程,方程(1.2)称为n阶齐次线性微分方程。
下面给出方程(1.1)和(1.2)的解的性质和结构。
定理1(齐线性方程解的叠加原理) 如果是方程(1.2)的n个解,则它们的线性组合也是方程(1.2)的解。其中是任意的常数。
定理2((1.2)的通解结构定理) 如果是方程(1.2)的n个线性无关的解,则方程(1.2)的通解可表示为:
(1.3)
其中是任意的常数,且(1.3)包括了方程(1.2)的所有解。
定理3(非齐线性方程解的叠加原理)如果是方程的解,而是方程的解,则也是方程的解。
定理4((1.1)的通解结构定理) 如果是方程(1.2)的基本解组,而是方程(1.1)的某一解,则方程(1.1)的通解可表示为:
(1.4)
其中是任意的常数,且(1.4)包括了方程(1.1)的所有解。
1.2 初等解法
假设方程(1.1)和(1.2)中的所有系数都是常数,即
(1.5)
(1.6)
方程(1.5)称为n阶常系数非齐次线性方程,方程(1.6)称为n阶常系数齐次线性方程。
1.2.1 齐线性方程的初等解法
① 常系数齐线性方程
对于常系数齐线性方程(1.6)的求解,关键在于找出它的基本解组,即n个线性无关解。参照一阶常系数齐线性方程的求解,对于方程(1.6)我们也试求其形如x=的解,其中为待定常数,将其代入方程(1.6)得:
由于对于t,都有,则:
(1.7)
式(1.7)称为方程(1.6)的特征方程。而方程(1.6)的解的形式将由式(1.7)的特征根决定。这就是所谓的欧拉待定指数函数法。
例1. 求解方程
解:特征方程
特征根
故所求通解为,其中为任意常数
例2. 求解方程
解:特征方程
特征根 (二重根)
故所求通解为, 其中为任意常数
② 欧拉方程
所谓欧拉方程就是指如下特殊的变系数方程:
(1.8)
经变换,则:
(1.9)
方程(1.9)有形如y=的解,则方程(1.8)有形如的解,将代入(1.8),得特征方程:
(1.10)
至此,对于方程(1.8)的求解方法可参照方程(1.6)的求解
1.2.2 非齐线性方程的初等解法
① 常数变易法
在求解一阶非齐线性方程的通解时,我们使用了常数变易法,这一方法同样适用于求解非齐线性方程(1.1)。其具体方法与步骤如下:
1)写出方程(1.2)的通解:
2)常数变易,即令 (1.11)
3)把(1.11)及其一阶到n阶导数(在附加了n-1个条件 )代入方程(1.1),可得
个确定的方程组(A):
(A)
解方程组(A)得,
4)逐个积分,得
5)写出方程(1.1)的通解:
=, 为任意常数
例3. 求方程于域的通解
解:对应齐线性方程
解之得 ,A,B为任意常数
易知基本解组为 1,
原方程可改写为 (*)
则运用常数变易法,令代入上式(*)得
解得
故原方程的通解为 为任意常数
② 比较系数法
现在讨论常系数非齐线性方程(1.5)
(1.5)
的求特解问题
事实上,当方程(1.5)的非齐次项具有某些特殊形状时,可采用一种简便有效的求特解方法————比较系数法。
类型
设,其中及为实常数,那么方程(1.5)有特解:,其中k为特征根的重数,而为待定常数,可通过比较系数法来确定。
类型
设,其中为常数,为带实系数的m次
(或不超过m次)多项式,则方程(1.5)有特解:, 其中k
您可能关注的文档
最近下载
- 江西各地供电服务有限公司招聘笔试题库2023.docx VIP
- 《指向高中生物核心素养的大单元教学设计研究》课题研究方案.doc
- Unit 4 What can you do Part C Story time(课件)-人教PEP版英语五年级上册.pptx VIP
- 学生会权益部部门招新.pptx VIP
- 《22G101三维彩色立体图集》.pdf VIP
- 一种快速测定萤石中氟化钙含量的方法.pdf VIP
- 人教版六年级数学上册同步辅导讲义教师版.doc
- 2025高中英语外刊时文阅读 巴黎奥运会之全红婵和潜水介绍 课件.pptx
- 植物生理学-扬州大学-中国大学MOOC慕课答案.pdf
- 三论我国发展注气提高采收率技术-李士伦.ppt
文档评论(0)