3.1矩阵的初等变换和其应用.docVIP

3.1 矩阵的初等变换及其应用  在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。 一、矩阵的初等变换 用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换： (i) 对调某两个方程在方程组中的位置； (ii) 以数乘某一方程的两端； (iii) 把某一方程的两端乘以数后加到另一方程的两端. 这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换. 定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (i)　对调两行(对调两行,记作); (ii)　以数乘某一行中的所有元素(第行乘,记作); (iii)　把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作). 把定义中的行换成列,即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换. 如果矩阵Ａ经有限次初等变换变成矩阵Ｂ,就称矩阵Ａ与Ｂ等价,记作Ａ～Ｂ . 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:变换的逆变换就是其本身;变换的逆变换为 (或记作);变换的逆变换为(或记作). 矩阵的等价关系满足以下三个性质： (i)　自反性：Ａ～Ａ; (ii)　对称性：若Ａ～Ｂ，则Ｂ～Ａ; (iii)　传递性：若，，则. 利用等价关系可以将矩阵分类，我们将具有等价关系的矩阵作为一类.显然，具有等价关系的矩阵所对应的方程组有相同的解.通过对矩阵施行初等行变化，可以将矩阵化简，例如 　　　　 上式中最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵，它的特点是：可以画出一条阶梯线，每个阶梯只有一行，阶梯线下方的元素全是零，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，阶梯数为非零行的行数.继续施行行变换,还可以化为更简单的形式: 上式中最后一个行阶梯矩阵具有下述特点：非零行向量的第一个元素为1,且含这些元素的列的其他元素都为0.这个矩阵称为Ａ的行最简形矩阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算,它有着广泛的应用，任意一个矩阵Ａ经过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵　 二、初等方阵 定义2 由单位阵Ｅ经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵. 三种初等变换对应着下列三种初等矩阵： （i）对调两行（或对调两列） 把单位阵中第两行对调(),得初等方阵 （ii）以数乘某行（或某列） 以数乘单位阵的第行(),得初等方阵 （iii）以数乘某行(列)加到另一行(列)上去 以乘的第行加到第行上()，得初等方阵 用阶初等方阵左乘矩阵得 其结果相当于对矩阵Ａ施行第一种初等行变换:把Ａ的第行与第行对调()；类似地可以验证：以左乘矩阵Ａ,其结果相当于以数乘Ａ得第行()；以左乘矩阵Ａ,其结果相当于把Ａ的第行乘加到第行上(). 综上所述,可得下述定理. 定理1 设Ａ是一个矩阵,对Ａ施行一次初等行变换,相当于在Ａ的左边乘以相应的阶初等方阵;对Ａ施行一次初等列变换,相当于在Ａ的右边乘以相应的阶初等方阵. 由此得知，对矩阵Ａ进行一系列的初等行变换，等于在Ａ的左边乘以若干个初等方阵. 三、利用初等行变换求逆矩阵 定理2 设Ａ为可逆方阵,则可通过行变换将Ａ化为单位矩阵. 证明 由于任意一个矩阵Ａ经过初等行变换都可化为行最简形矩阵，由定理1知，存在初等方阵，使得 ， 其中为的行最简形矩阵. 当Ａ为可逆方阵时，注意到初等方阵的可逆性，得，即Ｕ是可逆的，所以Ｕ是单位矩阵Ｅ，即有.定理证毕 由定理4得　， 　和　表明：当一系列初等行变换将矩阵Ａ化为单位阵Ｅ时，那么经过这同一系列的初等行变换就将单位阵Ｅ化为了，即 . 例1 设,求. 解 因为　 所以　 　 . 例2 判断方阵是否可逆，若可逆，求. 解 因为，所以，故Ａ不可逆，即不存在. 例3　设,讨论Ａ的可逆性. 解 因为， 由于初等行变换不改变矩阵的可逆性，所以当时矩阵Ａ可逆. 四、利用初等行变换求矩阵的秩 一般当矩阵的行数与列数都较高时,按定义求矩阵的秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵,显然它的秩就等于非零行的行数. 因此自然想到用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？我们给出下面的定理： 定理3　初等行变换不改变矩阵的秩 证明　由于对矩阵施行对调两行和以数乘某一行中的所有元素的变换均不改变子式是否为零，因此这两类初等行变换均不改变矩阵的秩．下面证明把矩阵某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去也不改变矩阵的秩. 设，且. 将Ａ的第行的乘以加到第行得到矩阵 ， 又设Ｄ是矩阵Ｂ的任意一个阶子式. 若Ｄ不含有矩阵Ｂ的第行元素，那么Ｄ也是矩阵Ａ的一个阶子式，从而Ｄ＝０. 若Ｄ含有矩阵Ｂ的第行元素??但不含有矩阵Ｂ的第行元素，那么由行列式的性质知，其中是A的两个阶子式，且至多相差一个