3.3.1二元一次不等式(组)和平面区域.docVIP

PAGE  PAGE 5 3.3　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域第二十七课时 教学目标 1.会用二元一次不等式或不等式组表示平面区表示平面区域； 2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域. 教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答. 课时安排 2课时 教学过程  导入新课 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一个实际例子. 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 解 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由资金总数为25 000 000元，得到x+y≤25 000 000.① 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以 (12%)x+(10%)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.② 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 x≥0,y≥0.③ 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件： 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-1＞0的解为坐标的点的集合A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么图形呢？ 推进新课 ［合作探究］ 1、点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域，点集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域. 一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域. ［教师精讲］ 二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域. （1）结论：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域. 把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线. （2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.规律：ax+by+c＞0（a＞0）表示直线ax+by+c=0的右侧区域， ax+by+c＜0（a＞0）表示直线ax+by+c=0的左侧区域 记忆口诀：a正大＞右，a负小＜左。 a为负时可化为正。 ［知识拓展］ 【例1】 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域. 解:先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的异侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域. 课堂练习： (1)x－y＋1＜0. (2)2x＋3y－6＞0. (3)2x＋5y－10≥0. (4)4x－3y≤12. 【例2】 画出不等式组表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集 的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解：x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合. x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合. 所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分. 【例3】 画出不等式组表示的平面区域.