3.4线性方程组解结构.docVIP

3.4 线性方程组解的结构 当线性方程组有无穷多解时,能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题. 一 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组(6)表示为 如果为齐次线性方程组(6)的解,则 = 称为方程组(6)的解向量,它也是矩阵方程的(7)的解. 根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。 性质1 若，为（7）的解，则也是（7）的解。 证　　只要验证满足方程（7）： . 即也是方程组(7)的解.　　证毕 性质2 若为（7）的解，为实数，则也是（7）的解. 证　　. 即 也是方程组(7)的解.　　证毕 性质3 若为（7）的解,对于的任意一组常数,则其线性组合也是（7）的解. 证 = = 即线性组合也是方程组(7)的解.　　证毕 从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于元齐次线性方程组,若,则有个自由未知量,这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数,它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合,这时我们称其为齐次线性方程组的全部解. 当然,我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组.对于,我们可得用向量表示的一般解形式,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组. 在上一节的例6中, 系数矩阵的秩,而未知量的个数,则自由未知量的个数为,这时方程组无穷解的一般表达式中含2个任意常数,方程组解向量的一般表达式为: = 其中, ,,如果在解向量的一般表达式中令和 可得解向量,则是线性无关的解向量组. 依据上面的讨论,对于齐次线性方程组给出一个重要的概念. 定义3.1 已知齐次线性方程组有无穷多解,并且含有个自由未知量,若解向量的一般表达式为 (为任意常数) 则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系. 根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一,有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变,并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的. 从而可得齐次线性方程组解的重要定理. 定理3.1 元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩 则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,方程组的全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合. 即 那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题,而基础解系的求法就是求解线性方程组得到的一般表达式中,与任意常数作线性组合的向量组既是一个基础解系. 在例7中,基础解系含一个解向量 解向量为所给方程组的一个基础解系. 在例6中,基础解系含有2个解向量, 解向量与为所给方程组的一个基础解系. 已知齐次线性方程组 求方程组的全部解,并求出一组基础解系. 解: 对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 ??? ??? ??? 于是,原方程组的同解方程组为 即 (为自由未知量) 若令 则上式可表示为 (其中为任意常数) 若令,则为原方程组的一个基础解系. 原方程组的通解可表示为. 二 非齐次线性方程组解的结构 设有非齐次线性方程组 　　　　　　　　　(6) 通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组 　　　　　　　　　(7) 称为与非齐次线性方程组(1)相对应的齐次线性方程组. 性质4　设及都是方程组（6）的解，则为对应齐次方程(7) 的解。 证 即是方程组（7）的解。 性质5　设是方程组（6）的解，是方程组（7）的解， 则仍是方程组（6）的解。 证 即 是方程组（6）的解。　　证毕 由以上这两个性质即可以证明非齐次线性方程组解的结构定理. 定理3.2 设是非齐次线性方程组的一个解, 是相应齐次线性方程组的基础解系,则方程组一般解为 　　　(8) 其中为任意常数. 证　　由性质1,性质3和性质5易知，是方程组的解,为证它是的一般解,只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可. 设是的任意一解,已知也是的一个解,由性质4, 是的解,又是齐次线性方程组的基础解系,故存在一组常数,使 = 即 定理证毕. 例3. 求解方程组 解: 对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 　? ?? ??? 可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为: 即 　　　(为自由未知量) 令则方程组的解表示为向量形式: (其中为任意常数) 其中, 令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系, 令 ,则为原方程组的一个特解. 为把解表示得更清楚些，可把它写成. 例4. 求解方程组 解: 对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 ?? ??? 可见，故方程组无解. 已知非齐次线性方程组 求方程组对应的齐次方程组的基础解系,方程组的一般解. 解: 对增广矩阵作初等行