3.3线性方程组解判定.docVIP

3.3 线性方程组解的判定 在上一节中,我们利用实例讨论了线性方程组解的各种情况,分析以上解方程组的过程,可以得到用消元法解线性方程组的一般步骤： 写出线性方程组（1）的增广矩阵. （一）设,否则,将的第1行与另一行交换,使第一行第一列的元素不为0. (二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式 对这个矩阵的第二行到第行,再按以上步骤进行,最后可以得到如下形状的阶梯型矩阵 其中 注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶梯型矩阵.容易看出, 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间的关系,确定方程组有解的充分条件. 方程组(1)相应的阶梯型方程组为 　　　　　　（2） 其中 从上节讨论可知,方程组(2)与原方程组(1)是同解方程组. 由(2)可见,化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解. 我们只需讨论阶梯型方程组(2)的解的各种情形,便可知道原方程组(1)的解的情形. 根据初等变换不改变矩阵秩的性质,有 显然,当方程组(2)中,,则(2)中的第个方程 “”是矛盾方程，所以方程组(2)无解，从而原方程组(1)也无解.如果方程组(2)中,又有以下两种情况： 当时，方程组（2）可以写成 　　　　　　（3） 因为，则满足： 依据克莱姆法则，方程组有唯一解.对于上述等价方程组（3）的解，除了利用克莱姆法则求解外，我们还可以从方程组(3)的最后一个方程中解出,再回代到第个方程,求出.如此继续下去,则可求出未知量. (2)当时,方程组(2)可改写成 　　　　　　(4) 同样对它进行回代过程,则可求出含有个未知量的表达式 　　　　　　(5) 由此可见,任给个未知量的一组值,就可定出的值,从而得到(4)或(1)的一个解.如果取,其中为任意常数,则方程组(4)有如下无穷多组解： 　　　　　　（6） 这是（4）的无穷多解的一般形式，也是（1）的无穷多解的一般形式. 个未知量可称为自由未知量.以上解还可以表达为向量形式： =+++　　　　　　(5) 也称(5)式为方程组(1)的解向量. 综上所述,可得线性方程组解的判定理论. 定理1 以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,则 (1) 若,则线性方程组有唯一一组解; (2) 若,则线性方程组有无穷多组解;且有个自由未知量; (3) 若,则线性方程组有无解. 例1 已知线性方程组 求增广矩阵与系数矩阵的秩； 判别线性方程组解的情况，如果有解，则求出其解. 解 1) 对增广矩阵作初等行变换,化成阶梯型矩阵,可以同时得到增广矩阵与系数矩阵的秩.解法如下: ? ??? ? ?? 则 秩. 2) 因为,所以此线性方程组有唯一一组解.对所得阶梯型矩阵再作初等行变换化成行最简型,有 ?? ?? ???? ?? 所以此方程组的唯一解为 求解线性方程组 解 对增广矩阵作初等行变换,化成行最简型. ?? ?? ??? ? 因为,所以,方程组有无穷组解. 与原方程组同解的线性方程组为: 将含未知量的项移到等式的右端,得 设未知量,得方程组得通解为 (为任意常数) 方程组得解也可以表示为向量形式: 例3 求解线性方程组 解 对增广矩阵作初等行变换,化成行最简型 ?? ??? 因为 所以,方程组无解. 例4 取何值时,线性方程组 有解,并求其解. 解? 当时,,方程组有唯一解 当时, ,方程组有无穷多解. 设(为任意常数),于是得到方程组得通解为 也可表示为向量得形式: 例5 为何值时线性方程组 1) 有唯一组解; 2) 有无穷组解; 3) 无解. 解 对增广矩阵施以初等行变换 ?? ?? ??? ???????????? = 1) 当且时, ,线性方程组有唯一一组解; 2) 当时, ,线性方程组有无穷多组解; 3) 当时,, 线性方程组解. 齐次线性方程组 当线性方程组(1)的常数项均为零时,这样的方程组称为与线性方程组(1)对应的齐次方程组.其一般形式为 　　　　　　（6） 其中 为系数矩阵，为常数项矩阵. 则（6）式可写成向量方程 　　　　　　（7） 当然,增广矩阵 由于增广矩阵的最后一列元素全为零,显而易见恒有 依据定理1,齐次线性方程组有解.若,则方程组(7)有唯一一组解,即有且只有零解；若，则方程组（7）有无穷组解，也就是除了零解外，还有非零解. 上述结果可以叙述为如下定理 定理2 对于个方程个未知量的齐次线性方程组,则有 1）若秩,则齐次线性方程组有非零解； 2）若秩,则齐次线性方程组只有零解. 推论 当方程的个数小于未知量的个数,即时,则齐次线性方程组有非零解. 对于个未知量个方程构成的齐次线性方程组(7),根据克莱姆法则,当系数行列式值等于零时,也就是系数矩阵经过初等行变换化为阶梯型矩阵必