3_19_一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明.docVIP

3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem of Initial Value Problem of ODE ) [教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明. [教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程 [教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习 [考核目标] 知道一阶微分方程的类型及其解法; 2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）; 3. 知道Picard定理的证明思路和过程; 4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解. 5. 了解和掌握Graonwall积分不等式. 1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结 （1）认识一阶微分方程： 一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、 一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程） 一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’ 只含有其中两个的方程类型） （2）解法 常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换 分离变量方法、齐次方程的变量替换 恰当方程的解法、积分因子的求法 隐方程的求导法和参数法 （3）例题 上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解. 介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）. 预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告. 2. 必要准备：数学中的进化论 生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片. 在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说. （1）考察三次代数方程 x3+4x-2?0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根. 思路一：运用连续函数的零点定理, 记表示第一代；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第二代，即；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第三代，即；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第四代，即；... ... 这样下去，越来越接近方程的根 x 0.473466,其中误差就是. 思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为，记 则方程就是，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根. 选取第一代（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代；... ... 越来越接近方程的根 x 0.473466. 打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。 上面的解决过程有两个方面需要研究，（一）理论方面按照上述进化机制，是否一定能找到符合属性的对象，比如上例中的近似解？ 当然在上例中思路一运用闭区间套定理和连续函数的保不等式性立得肯定性结论；在思路二中由教材P89习题9的结论也可得肯定性结论. 实用方面，如何来设计进化机制，使得进化的时间越短，但进化出的对象越好？比如思路一和思路二就可以比较一下了。再比如说，选取，则方程x3+4x-2?0的根就是F(x)=x 的不动点. 选取第一代（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第二代；再经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第三代；再经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第四代，与 精确根x 0.473466相差很小，显然F(x)比上面两种进化机制要好！如何对具体问题来设计进化机制呢？这就像曹冲称象，仁者见仁，智者见智. 上面我们说的是通过进化来找代数方程的根，这节我们要通过进化思想来找微分方程初值问题的解函数. 3. 必要准备：函数列敛散性、一致收敛性、函数项级数一致收敛性、求极限与积分交换次序定理的条件、Gronwall不等式. （1）函数列(函数项级数)收敛和一致收敛(参见《数学分析》下P27定义1和P29定理13.2，只要求知道条件和结论，不要求会证明)： 在上收敛，但在上不一致收敛. 函数项级数敛散性由其部分和函数列敛