3、列方程求面积.docVIP

三、列方程求面积 　　数学课上，老师出了这样一道题： 　　图中（见图1，其中cm表示厘米）平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形的面积. 　　小红仔细想了一会儿，提出了自己的解法，她说：这个三角形只给出了高的长度，因此它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图2），因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于 　　（48-5×6）÷2=9（平方厘米） 　　小刚不同意小红的说法，他说：这个三角形的面积可以直接求出.它的高为6，底为a，虽然不是已知，但可以求出.根据平行四边形面积为48，高为6，可列出方程 　　（5+a）×6=48 　　解方程，求得 a=3 　　所以三角形面积为 　　3×6÷2=9（平方厘米） 　　怎么样，小红和小刚的解法你都看懂了吗？小红的解法很巧妙，小刚的解法也很正确，他采用了设未知数列方程的???法，这在有关面积的计算问题中经常会用到.下面我们通过几个例题来说明如何利用列简易方程求面积. 例1 图3中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积（单位：厘米）. 分析与解 因为三角形 AEF的底和高很难求出，因此直接用三角形面积公式计算很困难.从图中看出，三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形CFE的面积.因为四边形AECF与三角形ABE、AFD共同把长方形ABCD的面积三等分，所以四边形AECF的面积可求.关键是求出三角形ECF的面积，而要求三角形ECF的面积，就要求出CE、CF的长，这又需要求出BE、DF的长，由三角形面积公式，可列出方程，问题得解. 　　由于长方形ABCD面积=6×9=54（平方厘米） 　　所以 　　三角形ABE面积=三角形AFD面积 　　=四边形AECF面积 　　=54÷3 　　=18（平方厘米） 　　又因为 　　三角形ABE面积=6×BE÷2 　　也就是 　　6×BE÷2=18 　　所以 　　BE=18÷6×2=6（厘米） 　　同样由 　　三角形AFD面积=9×DF÷2 　　可得到 　　9×DF÷2=18 　　所以 　　DF=18÷9×2=4（厘米） 　　因此，CE=9-BE=9-6=3（厘米） 　　CF=6-DF=6-4=2（厘米） 　　三角形CFE面积=3×2÷2 　　=3（平方厘米） 　　三角形AEF面积=四边形AECF面积-三角形ECF面积 　　=18-3 　　=15（平方厘米） 例2 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米（把厘米记为cm），短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积. 分析与解 根据题意画出图4，这里 　　长方形面积=正方形面积+54 　　这说明阴影部分的面积等于54平方厘米，只要求出正方形的面积，原长方形的面积就可知了.实际上只要求正方形的边长，问题即可解决. 　　首先将正方形的一边AB延长交长方形的长于C.设正方形边长为x（厘米），则 　　阴影部分面积=（3+x）×6+3x 　　所以 　　（3+x）×6+3x=54 　　 18+6x+3x=54 　　 9x=54-18 　　 x=36÷9=4 　　因此 　　长方形面积=4×4+54=70（平方厘米）或 　　长方形面积=（4+6）×（4+3） 　　=70（平方厘米） 例3 图5中，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB长10厘米，高EF长6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ABO的面积. 分析与解 要想求出图5中三角形AOB的面积，需要求出三角形ABO的高OF，因为已知梯形的高EF为6厘米，所以只要求出三角形DOC的高OE即可.三角形DOC的面积已知，求它的高，需先求出DC的长度，而DC的长度可由梯形的面积公式求出. 　　由梯形的面积公式有： 　　（DC+10）×6÷2=45 　　整理，有： 　　DC+10=45×2÷6=15 　　DC=15-10=5（厘米） 　　因为三角形DOC面积为5平方厘米，由三角形面积公式，有： 　　5×OE÷2=5 　　OE=5÷5×2=2（厘米） 　　所以 　　OF=EF-OE=6-2=4（厘米） 　　三角形ABO面积=10×4÷2=20（平方厘米） 　　说明：本题也可采用“重叠”的办法解决.观察图形可以发现，三角形ABC与三角形ABD是等高同底的三角形，它们的面积必相等.在这两个三角形中，显然三角形ABO“重叠”一次，如果加上已知的三角形DOC的面积，正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形AOB的面积.所以 　　 三角形ABO面积 　　=三角形ABD面积+三角形ABC面积+三角形DOC面积 　　 -梯形ABCD面积 　　=2×10×6÷2+5-45 　　=60+5-45 　　=20（平方厘米） 　　上面的几个例题，都是直接计