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4.1.2圆的1般方程
4.1.2 圆的一般方程
教学目标
1.讨论并掌握圆的一般方程的特点,并能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心的坐标和半径.
2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题,解题过程中能分析和运用圆的几何性质.
3.通过对圆的一般方程的特点的讨论,培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度;通过例题的分析讲解,培养学生分析问题的能力.
教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点;根据具体条件选用圆的方程为教学难点.
教学过程
一、复习并引入新课
师:请大家说出圆心在点(a,b),且半径是r的圆的方程.
生:(x-a)2+(y-b)2=r2.
师:以前学习过直线,直线方程有哪几种?
生:直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.
师:直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗?
生A:是的.
生B:缺少条件A2+B2≠0.
师:好!那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢?
(书写课题:“圆的一般方程”的探求)
二、新课
师:圆是否有一般方程?这是个未解决的问题,我们来探求一下.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式,两点式……)展开整理而得到的.想求圆的一般方程,怎么办?
生:可仿照直线方程试一试!把标准形式展开,整理得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,有:x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)
师:从(*)式的得来过程可知,只要是圆的方程就可以写成(*)的形式.那么能否下结论:x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程?
生A:不一定.还得考虑:x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式.
生B:也可以像直线方程一样,要有一定条件.
师:那么考虑考虑怎样去寻找条件?
生:配方.
师;请大家动手做,看看能否配成标准形式?
(放手让同学讨论,教师适当指导,然后由同学说,教师板书.)
1.当D2+E2-4F>0时,比较(△)式和圆的标准方程知:(*)式表示以
2.
3.当D2+E2-4F<0时,(*)式没有实数解,因而它不表示任何图形.
教师总结:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.
师:圆的一般方程有什么特点?
生A:是关于x、y的二元二次方程.
师:刚才生A的说法对吗?
生B:不全对.它是关于x、y的特殊的二元二次方程.
师:特殊在什么地方?
(通过争论与举反例后,由教师总结)
师:1.x2,y2系数相同,且不等于零.
2.没有xy这样的二次项.
(追问):这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件?
生:必要条件.
师:还缺什么?
生:D2+E2-4F>0.
练习:判断以下方程是否是圆的方程:
①x2+y2-2x+4y-4=0
②2x2+2y2-12x+4y=0
③x2+2y2-6x+4y-1=0
④x2+y2-12x+6y+50=0
⑤x2+y2-3xy+2y+5y=0
⑥x2+y2-12x+6y+F=0
三、应用举例
师:先请大家比较一下圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点?
生:标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径;一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程.
师:怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径.
生:
生B:不用死记,配方即可.
师:两种形式的方程各有特点,我们应对具体情况作具体分析、选择.
四.例题讲解
例1.求过三点的圆的方程;
分析:由于不在同一条直线上,因此经过三点有唯一的圆.
解:法一:设圆的方程为,
∵三点都在圆上,
∴三点坐标都满足所设方程,把代入所设方程,
得: 解之得:
所以,所求圆的方程为.
法二:也可以求和中垂线的交点即为圆心,圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程:.
法三:也可以设圆的标准方程:将点的坐标代入后解方程组也可以解得
例2.已知线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,求线段中点的坐标中满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?
解:设点的坐标是,由于点的坐标是,且是的中点,所以(*)
于是,有
因为点在圆上运动,所以点的坐标满足方程,即(**)
将(*)式代入(**),得,
整理得
所以满足的关系为:
其表示的曲线是以为圆心,1为半径的圆.
说明:该圆就是点的运动的轨迹;
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