4_1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docVIP

复习课: 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（4） 教学目标 重点：理解分类计数原理与分步计数原理,并能利用它们解决简单的实际问题.. 难点：正确的理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征,正确的区分“分类”或“分步”. 能力点：计算能力、归纳、转化与划归能力、分析问题与解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，培养学生自己解决问题的能力，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：分类的标准把握不准。:学 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：课件、学案. 一、【知识结构】 分类加法计数原理的基本概念 计数原理 分步乘法计数原理的基本概念 两个计数原理的综合应用 二、【知识梳理】 1.分类计数原理：完成一件事,有类办法,在第1类办法中,有种不同的方法,在第2类办法中,有种不同的方法,……,在第类办法中,有种不同的方法,那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事,需要分成个步骤,做第1步,有种不同的方法,做第2步,有种不同的方法,……做第步,有种不同的方法,那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法。 3. 分类计数原理中，“完成一件事,有类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立的完成这件事。 4. 分类计数原理中，“完成一件事,分成个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。 三、【范例导航】 专题一 分类加法计数原理 例1例1. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [分析]：把从10到99中所有个位数字大于十位数字的两位数的个数相加,利用分类计数原理 分析个位数字进行分类：个位数字是9,个位数字是8,个位数字是7,等等,把各种情形下满足条件的个数相加. 解：（1）当个位数字是9时,十位数字可以是：1,2,3,···,8;共8个 （2）当个位数字是8时,十位数字可以是：1,2,3,···,7;共7个, 以此类推 所以每一类中满足条件的个数分别为：8,7,6,5,4,3,2,1个. 故满足条件的数有1+2+3+4+5+6+7+8=36个. [设计意图] 本题考查分类计数原理,解题的关键是合理的分类,把个位数字分为8种情形,把每一类中满??条件的数找出来,然后相加.体现分类讨论的数学思想和列举的数数方法的应用. [点评]易错点：分类不清楚或每一类中满足条件的数的个数找不全. 变式训练： 已知直线倾斜角是锐角,且?是取自集合中的3个不同的元素这样的直线有多少条？ [分析]：由已知直线的倾斜角是锐角知：,（不妨设）,根据此条件把倾斜角是锐角的直线找出来,相加即得答案,利用分类计数原理.由已知：,（不妨设）,在此条件下有两种情形（1）,（2） ,在,的情形下直线的条数加上, 条件下的直线条数. 解：因为直线的倾斜角是锐角,,（不妨设）,（1）当时,有3种取法,有3种取法,两个步骤完成即可确定直线,此时有3×3=9 条直线,但要去掉重复的2条（为同一条直线）,此时满足条件的直线有：9-2=7（条） （2）当时,有3种取法,有3种取法,有4种取法.这三个步骤完成才能确定直线,并且任意两条直线均不相同.此时满足条件的直线条数是3×3×4=36 条,由分类计数原理知：共有36＋7=43条直线. [点评]本组例题主要是分类计数原理的应用,在应用时要注意如何分类才能合理,在每一类中有多少种方法,做到不重不漏. 专题二 分步乘法计数原理 例2 .（1）8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本有多少种不同的分法？ （2）将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法？ （3）3位旅客到4个旅馆住宿,有多少种住宿方法？ [分析]：（1）假设甲、乙、丙三同学从8本书中依次取,（2）分四步进行,每一步投一封信.（3）分三步进行,每一步安排一位旅客.以上三题均利用分步计数原理. 解：（1）第一位同学从8本书中任选一本有8种选法,第二位同学从余下的7本书中任选一本有7种选法,第三位同学还剩下6本书供选择有6种选法.由分步计数原理知：共有8×7×6=336种选法. （2）完成这件事分四步进行,每一步投一封信,每一封信都有3种选择,即每一封信都有3种投法.由分步计数原理知：共有 种. （3）完成这件事分三步进行,每一步安排一名旅客,每一位旅客都有4种不同的住宿方法.由分步计数原理知：共有种方法. [设计意图] 本题中的三个题都是分步计数原理的应用,关键是掌握如何分步的问题,特别是（2）（3）两题都是重复选取的问题,要注意其区别,关键是“谁选择谁”,属于易错题. 变式训练： 5名同学参加跳高、跳远、100米短跑和1500米长跑四项比赛,每项比赛都没有并列冠军,问一共有多少种不同的冠军获得情况. 专题三 两个原理的综