41_直线的倾斜角、斜率与方程.docVIP

9．1 直线的倾斜角、斜率与方程 教学目标 重点：理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的五种形式． 难点：理解直线的斜率与倾斜角的区别及联系． 能力点：熟练选用直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式解决相应的问题． 教育点：考查直线的倾斜角与斜率时，要注意倾斜角的情况，培养分类讨论的思想． 自主探究点：熟练掌握待定系数法求直线的方程． 考试点：重点考察各种条件下求解直线方程． 易错点：忽略倾斜角，直线斜率不存在的情况． 易混点：正确区分直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式的形式． 拓展点：运用直线系方程解决相关问题的方法． 学法与教具 学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】 直线的方程 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 范围 直线的斜率 定义 公式 直线方程的五种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 二、【知识梳理】 1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角的范围为______________． （2）直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即 ________，倾斜角是的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式： 经过两点，的直线的斜率公式为______________________．当时，直线的斜率__________． （3）直线的倾斜角与斜率的关系 当为锐角时，越大越____；当为钝角时，越大越____； 2．直线方程的五种基本形式 名称几何条件方程局限性点斜式过点，斜率为不含__________的直线斜截式斜率为，纵截距为不含__________的直线两点式过两点和（）不含__________的直线截距式横截距为，纵截距为不含________和_______的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用答案：1．（1） ①正向，向上， ；②； （2） ①正切值，；②．不存在．（3）大，大． 2．，，，，． 垂直于轴；垂直于轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 三、【范例导航】 例1 求直线的倾斜角的取值范围． 【分析】求倾斜角的取值范围，应先求斜率的变化范围，在结合倾斜角和斜率的关系求解． 【解答】直线的斜率为． ∵，∴，即． 如图所示，当时，倾斜角的范围是；当时，倾斜角的范围是． 于是倾斜角的取值范围是． 【点评】（1）已知斜率的范围求倾斜角的范围时，一定要注意运用正切函数在上的图象．在这里虽然斜率的范围是连续的，但正切函数在并不是单调的，所以倾斜角的范围确实断开的两个区间．（2）求倾斜角范围的一般步骤是：①求斜率的范围；②借助正切函数在上的图象，数形结合，确定倾斜角的范围． 变式训练：已知直线的倾斜角的范围是，求的取值范围． 解（1）当时，直线方程为，此时倾斜角；（2）当时，斜率．① 时，，解得．②时，，解得．综上，的取值范围是． 例2 已知直线与以、为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 【分析】可用两点式写出直线的方程，联立直线和的方程，解出交点的坐标，利用，解出的取值范围，由与斜率的关系，即得斜率的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线的方程中含有参数，可以得到直线必过一定点，将直线绕定点转动，寻找与线段相交的位置．由“直线与线段相交”展开联想． （1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围． （2）直线与线段相交于点，则点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解． 【解答】直线的方程可以化为，它表示经过直线和的交点的直线方程，由解得所以直线必过定点． 法一：设与的倾斜角分别为，．，．如图，当直线由变化到与轴平行的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是．当直线由变化到的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是． 故斜率的取值范围是． 法二：设直线的方程为，即． ∵点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，∴， 解得或．故斜率的取值范围是． 【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为（其中为参数）；②解方程组即得定点坐标． （2）本题确定直线斜率的取值范围用了以下两种方法： ①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率的关系：“当为锐角时，越大越大；当为钝角时，越大越大”去探究的变化规律． ②利用不等式表示的平面区域：当、在直线的异侧时，则；当、在直线的同侧时，则． 变式训练：在上述条件中，若点坐标