8.1.2微分方程的概念_脚本.docVIP

课程名称高等数学 课程标题8.1.2节——微分方程的概念序号时间画面内容（文字）备注1一、微分方程的概念 1. 微分方程的定义 发现两个式子的共性就是：都是方程，并且都含有未知函数的导数。具有这样性质的方程就是常微分方程。本节课将介绍有关常微分方程的一些相关概念.2含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 4 其中，未知函数是一元函数的，叫常微分方程.也是本章的主要内容. 未知函数是多元函数的，叫偏微分方程. 5 比如，下面几个方程，都是常微分方程。 可以看出，微分方程的实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 动画形式出现62、微分方程的阶 下面我们介绍一个概念---微分方程的阶. 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶.7我们观察下面几个微分方程，按照定义，很容易得出他们的阶分别是一阶，一阶，二阶. 大家要特别注意第二个方程，虽然出现了2次方，但未知函数的导数是一阶的，所以是一阶微分方程.按PPT动画形式出现 8我们看下面例1 判定下列式子，哪些是微分方程？若是，指明是几阶微分方程. 是方程，所以更不是微分方程； 不是微分方程，因为不含未知函数的导数或微分； 是1阶微分方程； 是4阶微分方程； 是1阶微分方程. 只要按照定义，我们就很容易判断出微分方程及其阶数.9二、主要问题----求方程的解 1. 微分方程的解 介绍了微分方程后，我们就来研究一下微分方程的解。 微分方程的解就是指使方程成为恒等式的函数. 其解分为通解和特解. 所谓通解就是解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同. 所谓特解就是不含任意常数的解. 按照PPT的动画出现10比如引例2中出现的这两个方程，上面的就是通解，下面的不含任??常数的就是特解。 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 按照PPT的动画出现11那么我们如何判断某函数是否为给定微分方程的解呢？ 对，可以应用检验法 ，也就是将函数 代入给定微分方程，判断等式是否成立. 比如下面的例2  12验证:函数是微分方程的解. 并求满足初始条件的特解. 所求特解为  13下面请同学们动动手，做一个课堂练习题. 判断下列函数是否为所给微分方程的解，是通解还是特解. 142. 解的几何意义 常微分方程解的几何图形(或几何意义)为它的积分曲线. 其中通解的图形：微分方程的积分曲线簇. 如图  15特解的图形：经过已知某点的一条积分曲线. 比如：其中红色的这条曲线.  16三、小结 教师出现下面我们来做个小结: 几天我们学习了有关微分方程的如下概念：微分方程，微分方程的阶，微分方程的通解和特解，初始条件和初值问题，积分曲线。 下一节我们将研究如何求解常见的微分方程. ，