EM是我1直想深入学习的算法之1.docVIP

EM是我一直想深入学习的算法之一，第一次听说是在NLP课中的HMM那一节，为了解决HMM的参数估计问题，使用了EM算法。在之后的MT中的词对齐中也用到了。在Mitchell的书中也提到EM可以用于贝叶斯网络中。 下面主要介绍EM的整个推导过程。 1. Jensen不等式 ????? 回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。如果或者，那么称f是严格凸函数。 ????? Jensen不等式表述如下： ????? 如果f是凸函数，X是随机变量，那么 ????? ????? 特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。 ????? 这里我们将简写为。 ????? 如果用图表示会很清晰： ????? ????? 图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像掷硬币一样）。X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成立。 ????? 当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。 ????? Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是。 2. EM算法 ????? 给定的训练样本是，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下： ????? ????? 第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。 ????? EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化，我们可以不断地建立的下界（E步），然后优化下界（M步）。这句话比较抽象，看下面的。 ????? 对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是。（如果z是连续性的，那么是概率密度函数，需要将求和符号换做积分符号）。比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布了。 可以由前面阐述的内容得到下面的公式： ????? ????? （1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考虑到是凹函数（二阶导数小于0），而且 ????? ????? 就是的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则） ????? 设Y是随机变量X的函数（g是连续函数），那么 ????? （1） X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2,…。若绝对收敛，则有 ????? ????? （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有 ????? ????? 对应于上述问题，Y是，X是，是，g是到的映射。这样解释了式子（2）中的期望，再根据凹函数时的Jensen不等式： ????? 可以得到（3）。 ????? 这个过程可以看作是对求了下界。对于的选择，有多种可能，那种更好的？假设已经给定，那么的值就决定于和了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升，以逼近的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明我们调整后的概率能够等价于了。按照这个思路，我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式，要想让等式成立，需要让随机变量变成常数值，这里得到： ????? ????? c为常数，不依赖于。对此式子做进一步推导，我们知道，那么也就有，（多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），那么有下式： ????? ????? 至此，我们推出了在固定其他参数后，的计算公式就是后验概率，解决了如何选择的问题。这一步就是E步，建立的下界。接下来的M步，就是在给定后，调整，去极大化的下界（在固定后，下界还可以调整的更大）。那么一般的EM算法的步骤如下： 循环重复直到收敛 { ????? （E步）对于每一个i，计算 ????????????????? ????? （M步）计算 ????????????????? ????? 那么究竟怎么确保EM收敛？假定和是EM第t次和t+1次迭代后的结果。如果我们证明了，也就是说极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。下面来证明，选定后，我们得到E步 ????? ????? 这一步保证了在给定时，Jensen不等式中的等式成立，也就是 ????? ????? 然后进行M步，固定，并将视作变量，对上面的求导后，得到，这样经过一些推导会有以下式子成立： ????? ????? 解释第（4）步，得到时，只是最大化，也就是的下界，而没有使等式成立，等式成立只有是在固定，并按E步得到