fg1元2次方程式的定义.docVIP

PAGE  PAGE 6 1. 一元二次方程式的定義： (1) 一元二次方程式： 當一個方程式只有一個未知數，而此未知數的最高次數為2時， 我們把它叫做一元二次方程式。 例如：f()＝＋3＋2為一元二次式，(一元二次多項式) f()＝＋3＋2＝0為一元二次式方程式。 【範例】：＋2＋1＝0，－3＋11＝6，2＝5，這些都是一元二次方程式。 【補充】：＋2－3＝0………………一元三次方程式， ＋＋2－＋9＝0……二元二次方程式。 (2) 一元二次方程式的標準式： a＋b＋c＝0，其中a≠0。 (3) 解(根)： 若＝代入一元二次方程式a＋b＋c＝0，滿足＋＋＝0， 則稱＝為此一元二次方程式的根。 【範例】：對於一元二次方程式x－2－8＝0， 將＝4代入原方程式 得4－2×4－8＝0，故＝4為此方程式的根。 將＝－2代入原方程式(－2)－2×(－2)－8＝0，故＝4為此方程式的根。 在此＝4或＝－2 都為此方程式 －2－8＝0 之解或根。 (4) 一元二次方程式的次數與根的個數之關係： 一元一次多項式有一個根；一元二次多項式有兩個根；一元三次多項式有三個根； 一般而言，一元次多項式會有個根。也就是說，多項式的根的個數會與多項式 的次數相同。 【範例】：＋2＝0為一元一次方程式，有一個解或稱有一個根。 【範例】：x－3＋2＝0為一元二次方程式，將其分解成兩個一次式的乘積， (－2)(－1)＝0，則其解為＝1或＝2， ∴ x－3＋2＝0有兩個解或稱有兩個根。 【範例】：－6 x＋11－6＝0為一元三次方程式，將其分解成三個一次式的乘積， (－1)(－2)(－3)＝0，則其解為＝1，2，3。 ∴ －6 x＋11－6＝0有三個解或稱有三個根。 (5) 解一元二次方程式的法則： 設法將一元二次式改寫為兩個一元一次式的乘積。 【範例】：如果將x＋－6＝0改寫為(－2)(＋3)＝0， 則(－2)＝0或(＋3)＝0 ， ∴ ＝2 或 ＝－3。 2. 一元二次方程式的解題步驟： a. 移項：先把式中各項移到等號左邊，使等號右邊為0，並且合併同類項 化成標準式：＋＋＝0 (＞0)。 b. 將多項式分解：等號左邊的二次式分解成兩個一次因式的乘積。 例如：(－)(－)＝0。 c. 再令兩個一次因式分別等於0，即可解得＝及＝。 【範例】：求出方程式 x＋x＝6 的解。 解 ： ∴ x＋x－6＝0 ∴ （x－2）（x＋3）＝0 ，則 x－2＝0 或 x＋3＝0 ∴ x＝2 或 －3。 【範例】：求出方程式 2x＋5x＝3－－2的解。 解 ： ∴ 5＋4x＝3－－2 5＋4x－3＋＋2＝0 2＋5＋2＝0 ∴（x＋2）（2＋1）＝0，則 x＋2＝0 或 2x＋1＝0。 ∴ x＝－2 或 －。 【範例】：求出方程式 15x－x－2＝0的解。 解 ： ∴（5x－2）（3x＋1）＝0 ，則 5x－2＝0 或 3x＋1＝0 ∴ x＝ 或 －。 3.在上面的步驟中，可能發生的情況： (1) 若＝0，標準式＋＋＝0改寫為(＋)＝0： ＋＝0 (＋)＝0 ∴ 解為 ＝0或＝－。 【範例】：解方程式：2－5＝0。 解 ：2－5＝0 （2－5）＝ 0 ∴ 解為 ＝0或＝。 【範例】：解方程式： 4x＋6＝0。 解 ：4＋6＝0 2（2＋3）＝ 0 ∴ 解為 ＝0或＝－。 【範例】：解方程式：－3x＋6＝0。 解 ：－3＋6＝0 －3（－2）＝0 ∴ 解為 ＝0或＝2。 【範例】：解方程式：5x＋20＝0。 解 ：5＋20＝0 5（＋4）＝0 ∴ 解為 ＝0或＝－4。 (2) 若＝0，標準式＋＋＝0改寫為＋＝0： ＋＝0 ＝ ＝－，