2011第二章线性系统的数学模型.ppt

第2章 线性系统的数学模型; 系统数学模型的建立，是分析和设计系统的首 要任务，可以有多种形式： 时域中——微分方程式 复域中——传递函数，结构图 频域中——频率特性; ;同一个系统，可用不同的数学模型来表达。 数学模型的复杂程度可以不同。 如何选择： 既不致造成数学处理上的困难，又不致影响分析的准确性而达不到分析研究的目的。 根据将要应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型。 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相同的形式。 利用电气系统来模拟机械系统进行实验研究。;内 容;列写系统微分方程的一般步骤： （1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各 变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量 之间的动态方程，一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入输出变量的微分方程 （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边， 与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按 降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特 性的参数，如时间常数等。; ;例2.2 二阶RC网络系统：;例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。 ;弹簧-质量-阻尼器机械系统：;整理且标准化 ;完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！;例2.4 R-L-C串联网络的数学模型;§2.2 微分方程的线性化 ; 当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。 ; 非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 ; 假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 ;当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 ;图2-8为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。 线圈的微分方程为 ; ???工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有 ;;§2.3 传递函数 ;若已知线性定常系统的微分方程为 ;则系统的传递函数为 ;2.2.2 传递函数的特点 ;3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。 ;5.传递函数式(2-49)可表示成 ;6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为 而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。 ; （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数， 与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复 变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关 系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系 数均为实数，故零点和极点可以是实数，也可 以是成对的共轭复数。;传递函数的表示方式;（3）时间常数形式;2.2.3 典型环节的传递函数 ;动态方程：c(t)=Kr(t) 传递函数：G(s)=K;2、惯性环节;单位阶跃响应曲线; 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数;3、积分环节;积分环节的单位阶跃响应为: ;4、振荡环节;振荡环节的单位阶跃响应（K=1, T=1）;振荡环节的单位阶跃响应（K=1,ζ=0.6）;5、微分环节;如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数 ; 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。 ;一阶微分环节：;6、延迟环节(纯滞后环节); 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。 ; 惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，