MATLAB和线性方程组求解.docVIP

PAGE  PAGE 5 科学从来不是以繁琐为特征的，工程问题则是很繁琐的，所以工程师需要计算机辅助，让计算机去处理大量的简单重复性工作，让人可以集中精力处理重要的关键性决策。 以现代飞行器外形设计为例，它决定了整个飞行器的空气动力学特征，因而地位十分重要。现在流体动力学的理论和计算流体动力学软件已经很成熟，问题是如何应用到特定的外形上来。人们采用的方法就是把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。对如此大的方程组在求解之前先要简化，简化方法包括：一是利用许多不相邻的元素之间没有关联，其交叉系数为零，在整个大联立方程组中，绝大部分的系数为零，使用稀疏矩阵的计算方法；二是把矩阵进行分解如LU分解，可以大大提高计算速度。工程问题不断向矩阵理论提出需求，从而推动了理论的发展。绝不是某些超人，从定义出发，冥思苦想出新理论的。 卫星遥感图象处理中，气象和地球资源卫星大约用90分钟绕地球一圈，拍摄的图像宽度约为150公里。地球赤道长40,000公里，因此大约每16天，可以扫描地球的每个角落一遍。卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像，对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素，再把它们合成起来，成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据，形成一个多元的变量数组，在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。 国家地理信息系统在全国设立几十万个观察点，把每一点的经度、纬度和高度三个坐标建立起来。由于地壳的变动，测量仪器的现代化和实际需求的增长，地理信息系统精细化的工程是与无止境的。取点的密度一次比一次增加，精度要求一次比一次提高。现在对于经度纬度的测量精度要求，已经提高到了若干厘米，对于高度的精度要求更高。在一些边远地区，对于一些特征点的测量，要耗费很大的人力物力。例如对珠穆朗玛峰顶高度的测量，要经过多种方法，取得多种数据，并且用最小二乘法进行误差的处理。所以要获得全部数据一般就要好几年，需要解上百万个线性方程，所以只能几十年做一次全面更新。 例1 s1=x1+0.2*x2^3+1 % 方程1 s2=3*x1+2*x2+3 % 方程2 [x1,x2]=solve(s1,s2) % 解联立方程1,2 x2 = 0. -1.8257418583505537115232326093360 1.8257418583505537115232326093360 x1= -1. .2171612389003691410154884062240 -2.2171612389003691410154884062240 在线性代数中，遇到的都是一次函数， solve命令用了符号运算工具葙，它的数字精度是32位十进制，而不是一般数值计算时的16位十进制。 2 克拉默(Gramer)法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零，即 则线性方程组有惟一解，x1=D1\D,x2=D2\D,…,xn=Dn\D.其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式。 =如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它没有非零解； =如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0. Cramer法则使我们能利用行列式的运算求解线性方程组，但是由于高阶行列式的运算比较复杂，并且只有当方程组的系数矩阵是方阵时，才能使用。这些都使这种方法的应用受到很大限制，而更多地应用于一些问题的证明中。 若线性方程组的常数项b1,b2,…,bn不全为零，称为非齐次线性方程组；若线性方程组的常数项b1,b2,…,bn全为零，称为齐次线性方程组。 易知，x1=x2=…xn=0一定是齐次线性方程组的解，称为零解；若有一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，称为非零解。 例1.解线性方程组 A=[1 -2 1;2 1 -3;-1 1 -1];b=[-2;1;0]; A1=[b,A(:,2),A(:,3)];A2=[A(:,1),b,A(:,3)];A3=[A(:,1),A(:,2),b]; D=det(A);D1=det(A1);D2=det(A2);D3=det(A3); x1=D1/D,x2=D2/D,x