matlab求微分方程的解实验报告4.docVIP

《matlab与数学实验》实验报告 实验序号： 实验四 日期： 2015年 5 月 25 日 班级 132132002姓名 彭婉婷学号 1321320057实验名称 求微分方程的解 问题背景描述实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．实验目的本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法．实验原理与数学模型MATLAB7.11.0主要内容（要点）1. 求微分方程的通解． 2. 求微分方程的通解． 3. 求微分方程组 在初始条件下的特解，并画出解函数的图形． 4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中???微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异． 5. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题 的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]． 选做： 6. 用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题 的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．迭代法 实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）求微分方程的通解． 程序: clear syms x y y=dsolve((x^2-1)*Dy+2*x*y=sin(x),x) 答案:y =-(C2 + cos(x))/(x^2 - 1) 求微分方程的通解． 程序: clear syms x y y=dsolve(D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x),x) simplyify(x/y)weijiao 答案: y =(exp(x)*sin(x))/6 - (sin(3*x)*exp(x))/8 + (sin(5*x)*exp(x))/24 + C4*cos(2*x)*exp(x) + sin(2*x)*exp(x)*(cos(x)/4 - cos(3*x)/12 + 1/6) + C5*sin(2*x)*exp(x) 3. 求微分方程组 在初始条件下的特解，并画出解函数的图形． 程序: clear syms x y t [x,y]=dsolve(Dx+x+y=0,Dy+x-y=0,x(0)=1,y(0)=0,t) ezplot(x,y,[0, 1])(t的取值，t是与x,y相关的，如果不给范围，则会默认为一个较大的区间) simplify(x) simplify(y) 答案: x =exp(2^(1/2)*t)/2 + 1/(2*exp(2^(1/2)*t)) - (2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4 + 2^(1/2)/(4*exp(2^(1/2)*t)) y =2^(1/2)/(4*exp(2^(1/2)*t)) - (2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4 图形: 4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异． 先编写函数文件verderpol.m： clear function xprime=verderpol(t,x) xprime=[-x(1)-x(2); x(2)-x(1)]; 再编写命令文件 clear y0=[1;0]; [t,x] = ode45(verderpol,[0,2],y0); x1=x(:,1);x2=x(:,2); plot(x1,x2,b-) hold on y0=[1;0]; [t,x]=ode23(verderpol,[0,2],y0); x1=x(:,1);x2=x(:,2); plot(x(:,1),x(:,2),r-); 图形: 两种求解器之间的差异: ode45大部分场合的首选算法 ode23使用于精度较低的情形 但在此题中并没有体现出差异。 5. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题 的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]． 程序：clear f=sym(y+2*x/y^2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{x,y},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2)) 答案：szj = 0 1.0000 0.1000 1.1000