MATLAB课件第8章线性代数基础.docVIP

第八章 线性代数基础 1.矩阵的重要运算 1.1方阵的行列式 方阵的行列式的值由det函数计算得出； 【例1】 计算矩阵A=[1 2 2;2 3 5;4 5 7]的行列式的值。 A=[1 2 2;2 3 5;4 5 7];det(A) ans = 4 【例2】 计算矩阵A=[a b;c d]的行列式的值。 syms a b c d;A=[a b;c d],det(A) A = [ a, b] [ c, d] ans = a*d-b*c 1.2矩阵的秩 矩阵的秩由rank函数来计算。 【例3】 计算矩阵A=[1 2 2;2 3 5;4 5 7]的秩。 rank(A) ans = 3 1.3矩阵的维数和长度 size() % 求矩阵的维数 (columns rows)。 length() % 求矩阵的长度，矩阵的长度用向量(或columns)数定义。表示的是矩阵的列数和行数中的最大数。 【例4】 a=[10,20,42;34,20,4;198,34,6;10 20 30]; size(a) ans = 4 3 length(a) ans = 4 注意size(a)与length(a)两者之间的区别。 1.4矩阵的迹 矩阵的迹定义为该矩阵对角线上的各元素之和，也等于??矩阵的特征值之和。Matlab调用格式为：trace(); 【例5】求矩阵A=[1 2 30;2 20 3;3 2 11]的迹 A=[1 2 30;2 20 3;3 2 11];trace(A) ans = 32 1.5 转置运算 在MATLAB中，矩阵转置运算的表达式和线性代数一样，即对于矩阵Ａ，其转置矩阵的MATLAB表达式为A’或transpose(A)。但应该注意，在MATLAB中，有几种类似于转置运算的矩阵元素变换运算是线性代数中没有的，他们是： fliplr(A) 将A左右翻转； flipud(A) 将A上下翻转； rot90(A) 将A逆时针方向旋转90。 【例6】求矩阵A=[1 2 30;2 20 3;3 2 11]的转置矩阵 A=[1 2 30;2 20 3;3 2 11],B=A A = 1 2 30 2 20 3 3 2 11 B = 1 2 3 2 20 2 30 3 11 transpose(A) ans = 1 2 3 2 20 2 30 3 11 rot90(A) ans = 30 3 11 2 20 2 1 2 3 1.6 逆矩阵运算 矩阵的逆运算是矩阵运算中很重要的一种运算。它在线性代数及计算方法中都有很多的论述，而在MATLAB中，众多的复杂理论只变成了一个简单的命令inv()。 【例7】 求矩阵A=[1 2; 3 4]的逆矩阵。 A=[1 2;3 4],invA=inv(A),A*invA A = 1 2 3 4 invA = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 ans = 1.0000 0 0.0000 1.0000 从ans变量的结果可以看出，A的逆矩阵没有求错。 在线性代数教材中，通常采用初等行变换的方式来求解矩阵的逆。这样的方法可以用以下方法可以实现： A=[1 2;3 4],n=size(A);A1=[A,eye(n)];A2=rref(A1);invA=A2(:,1+n(1):end) A = 1 2 3 4 invA = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 【例8】求矩阵A=[a b;c d]的逆矩阵。 syms a b c d;A=[a b;c d];invA=inv(A) invA = [ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)] [ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)] 1.7 广义逆矩阵 由线代知识知道，如果矩阵奇异，则逆矩阵不存在，另外，长方形的矩阵有时也会涉及到求逆的问题，这样就需要定义一种新的“逆矩阵”。 对于矩阵A,如果存在一个矩阵N，满足ANA=A,则N矩阵称为A的广义逆矩阵，记作，如果A是一个n×m的长方形矩阵，则N为m×n阶的矩阵。满足这样的广义逆矩阵有无穷多个。