MATLAB课件第11章线性极值.docVIP

第十一章 线性极值 MATLAB提供了很多求极值（或最优值）的命令函数，既可以求无条件的极值，也可求有条件的极值，其中，条件可以是不等式，也可以是等式的，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可以是多个条件，目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，总之，MATLAB针对不同的类型，采用不同的函数命令去求解，以下将分类型来做些简单的介绍。 1线性极值（又称线性规划） 1.1线性规划模型 规划问题研究的对象大体可以分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使成本、费用最小等。这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）。线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数都是线性的，而目标函数只能是一个。在经济管理问题中，大量问题是线性的，有的也可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值。线性规划模型包含3个要素： （1）决策变量. 问题中需要求解的那些未知量，一般用n维向量表示。 （2）目标函数. 通常是问题需要优化的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的线性函数。 （3）约束条件. 对决策变量的限制条件，即x的允许取值范围，它通常是x的一组线性不等式或线性等式。 线性规划问题的数学模型一般可表示为： min（max） f T X s.t A X≤b Aeq X =beq lb≤X≤ub 其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。 特别注意：当我们用MATLAB软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。约束g i (x)≥0，化为 –g i≤0来做。 1.2．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。 [x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。 [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分： exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。Output为关于优化的一些信息。Lambda为解x的Lagrange乘子。 【例1】求解线性规划问题： max f=2x1+5x2 s.t 先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2 具体程序如下： f=[-2 -5]; A=[1 0;0 1;1 2]; b=[4;3;8]; lb=[0 0]; [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) f=fval*(-1) 运行结果： x = 2 3 fval = -19.0000 maxf = 19 【例2】：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5 s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤6 2x1+x2-x3+4x4+x5≤7 0≤xj≤15 j=1,2,3,4,5 编写以下程序： f=[5 -1 2 3 -8]; A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1]; b=[6;7]; lb=[0 0 0 0 0]; ub=